a=点本- 品+-n c. 注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积 分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一。 例31求[sin(nx)d. 分析这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止， 解法】利用分部积分公式，则有 [sin(Inx)dx=xsin(lnx)-[xcos(Inx) =xsin(Inx)-[cos(Inx)dx =xsin(Inx)-xcos(Inx)-[sin(Inx)dx, 所以 ∫sin(Inx)d=，fsin(ln)-cos(nx+C 解法2令lnx=1,k=edh,则 ∫sin(Inx)dx=∫sintdr=sint-∫sintd=esin1-cost-sintdr, 所以 [sin(n)达=esn-dcos)+C=5snh)-oshx训+C. 例32求1，=n”xdt,其中n为自然数. 分析这是适合用分部积分法的积分类型， 解In=ln”xdk=xln"x-nln-xdh=xln"x-nl,即 1,=xin'x-nl 为所求递推公式。而 1=[Inxdx=xInx-[dx=xInx-x+C. 注1在反复使用分部积分法的过程中，不要对调和v两个函数的“地位”，否则不 仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得. 注2分部积分法常见的三种作用： (1)逐步化简积分形式： (2)产生循环： (3)建立递推公式 （2） 2 2 ln 1 1 1 (ln ) ln (ln ) x dx dx dx x x x − = −    2 2 1 ln (ln ) (ln ) x x dx dx x x x x = + −   ln x C x = + ． 注 将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积 分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一． 例 31 求 sin(ln ) x dx  ． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止． 解法 1 利用分部积分公式，则有 1 sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) x dx x x x x dx x = −    = − x x x dx sin(ln ) cos(ln )  = − − x x x x x dx sin(ln ) cos(ln ) sin(ln )  ， 所以 1 sin(ln ) [sin(ln ) cos(ln )] 2 x dx x x x C = − +  ． 解法２ 令 ln x t = ， t dx e dt = ，则 sin(ln ) x dx  = sin sin sin sin cos sin t t t t t t e tdt e t e tdt e t e t e tdt = − = − −    ， 所以 1 1 sin(ln ) ( sin cos ) [sin(ln ) cos(ln )] 2 2 t t x dx e t e t C x x x C = − + = − +  ． 例 32 求 lnn n I xdx =  ，其中 n 为自然数． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型． 解 1 1 ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI − = = − = −   − ，即 1 lnn n n I x x nI = − − 为所求递推公式．而 1 I xdx x x dx x x x C = = − = − + ln ln ln   ． 注 1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调 u 和 v 两个函数的“地位”，否则不 仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得． 注 2 分部积分法常见的三种作用： （1）逐步化简积分形式； （2）产生循环； （3）建立递推公式．