∫=2+fh=2+- =2rIn(1+)-4t+4arctant+C =2x/e-1-4e-1+4arctane-1+C. 注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果 例28(01研）求∫知k. 分析被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法。 法1：-me9y=产ar- =-[e arctane'+e+arctane]+C. 解法2先换元，令=，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答。 例29求∫csc3xdk. 分析被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑 微分，再用分部积分法， 解∫csc3xk=∫escx(cse2xh=-∫cscxd(cotx) =-csc.xcotx-fcot'x. =-cscxcotx-[csc'xdx+cscxdx =-cscxcotx-[csc'xdx+Incscx-cotx, 从而 es(cscxcotx-Inkscx-co+C. 注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况， 这时只需要移项即可得到结果】 例30求下列不定积分： (e a 期0=-小 fo 1 =可++c1 x x xe dx e −  2 2 2 2 2 ln(1 ) 2 ln(1 ) 4 1 t t dt t t dt t = + = + − +   2 = + − + + 2 ln(1 ) 4 4arctan t t t t C 2 1 4 1 4arctan 1 x x x = − − − + − + x e e e C ． 注 求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果． 例 28（01 研） 求 2 arctan x x e dx e  ． 分析 被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法． 解法 1 2 arctan x x e dx e  2 2 2 2 1 1 arctan ( ) arctan 2 2 (1 ) x x x x x x x de e d e e e e e − −   = − = − −     +   1 2 arctan arctan 2 x x x x e e e e C − − = − + + +     ． 解法 2 先换元，令 x e t = ，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答． 例 29 求 3 csc xdx  ． 分析 被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑 微分，再用分部积分法． 解 3 2 csc csc (csc ) csc (cot ) xdx x x dx xd x = = −    2 = − −  csc cot cot csc x x x xdx  3 = − − + csc cot csc csc x x xdx xdx   3 = − − + − csc cot csc ln csc cot x x xdx x x  ， 从而 3 1 csc (csc cot ln csc cot ) 2 xdx x x x x C = − − − +  ． 注 用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况， 这时只需要移项即可得到结果． 例 30 求下列不定积分： （1） 2 2 2 2 1 ( 1) x x x e dx x − − −  ． （2） 2 ln 1 (ln ) x dx x −  ． 解 （1） 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) x x x x x xdx e dx e dx e x x x − − = − − − −    2 2 1 ( ) 1 1 x e x dx e d x x = + − −   2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x e e e e dx dx C x x x x = + − = + − − − −   ．