例3求积分∫2x-2+32x-六 4x2+4x-11 分析计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分 式化为部分分式之和：第二步：对各部分分式分别进行积分. 4x2+4x-11 解用待定系数法将2x21-可化为部分分式之和.设 4x2+4x-1 用(2x-12x+3X2x-5)乘上式的两端得 4x2+4x-11=A2x+32x-5)+B2x-102x-5)+C(2x-12x+3), 两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即 (A+B+C=1 -A-3B+C=1 -15A+5B-3C=-11 这是关于A,B,C的线性方程组，解之得A=,B=-,C= 由于用待定系数法求A,B,C的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A,B,C,因 为等式 4x2+4x-11=A2x+32x-5)+B2x-12x-5)+C(2x-1(2x+3) 是恒等式，故可赋子x为任何值，令x=)可得A=同样，令x=-子得B=一日，令x= 得C=,于是 4x2+4x-11 -ipx-gx+3+nx-5+C s-es-5.c. 2x+3 例34求+4+5x+2: 1 解x2+4x2+5x+2是三次多项式，分解因式 x+4xr2+5x+2=(x2+x2)+3x2+x)+2x+1) =(x+1x2+3x+2)=(x+1)(x+2) 1 B (x+1F(x+2)x+2+x+i+r+例 33 求积分 2 4 4 11 (2 1)(2 3)(2 5) x x dx x x x + − − + −  ． 分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分 式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分． 解 用待定系数法将 2 4 4 11 (2 1)(2 3)(2 5) x x x x x + − − + − 化为部分分式之和．设 2 4 4 11 (2 1)(2 3)(2 5) 2 1 2 3 2 5 x x A B C x x x x x x + − = + + − + − − + − ， 用 (2 1)(2 3)(2 5) x x x − + − 乘上式的两端得 2 4 4 11 (2 3)(2 5) (2 1)(2 5) (2 1)(2 3) x x A x x B x x C x x + − = + − + − − + − + ， 两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即 1 3 1 15 5 3 11 A B C A B C A B C  + + =  − − + =  − + − = − ， 这是关于 A ， B ， C 的线性方程组，解之得 1 2 A = ， 1 4 B = − ， 3 4 C = ． 由于用待定系数法求 A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求 A ，B ，C ．因 为等式 2 4 4 11 (2 3)(2 5) (2 1)(2 5) (2 1)(2 3) x x A x x B x x C x x + − = + − + − − + − + 是恒等式，故可赋予 x 为任何值．令 1 2 x = ，可得 1 2 A = ．同样，令 3 2 x = − 得 1 4 B = − ，令 5 2 x = ， 得 3 4 C = ，于是 2 4 4 11 (2 1)(2 3)(2 5) x x dx x x x + − − + −  1 1 1 1 3 1 2 2 1 4 2 3 4 2 5 dx dx dx x x x = − + − + −    1 1 3 ln 2 1 ln 2 3 ln 2 5 4 8 8 = − − + + − + x x x C 2 3 1 (2 1) (2 5) ln 8 2 3 x x C x − − = + + ． 例 34 求 3 2 1 4 5 2 dx x x x + + +  ． 解 3 2 x x x + + + 4 5 2 是三次多项式，分解因式 3 2 3 2 2 x x x x x x x x + + + = + + + + + 4 5 2 ( ) 3( ) 2( 1) 2 2 = + + + = + + ( 1)( 3 2) ( 1) ( 2) x x x x x 设 2 2 1 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) A B C x x x x x = + + + + + + +