命题81秩A=r当且仅当A有一个非零的r 阶子式且所有r+阶子式等于0 证明必要性是显然的现在证明充分性设 M是A的一个阶子式其中大于r+1因为M的 r+阶子式也是A的r+1阶子式故都等于0,从而 对M前r+1阶行做 Laplace展开即知M=0于是A 的任意阶数大于r的子式都是0,故秩A=r 命题8.2秩AB<秩A秩B 国园國[回命题8.1 秩A=r当且仅当A有一个非零的r 阶子式,且所有r+1阶子式等于0. 证明 必要性是显然的.现在证明充分性.设 M是A的一个s阶子式,其中s大于r+1.因为M的 r+1阶子式也是A的r+1阶子式,故都等于0,从而 对M前r+1阶行做Laplace展开即知M=0.于是A 的任意阶数大于r的子式都是0,故秩A=r. 命题8.2 秩AB ≤ 秩A, . 秩B