第三章函数极限与连续函数 习题3.1函数极限 1.按函数极限的定义证明 (1)limx3=8; (2)lim 1 (4)m++1 (5) lim In x=-∞; (6)imex=0; (7)lim (8)lim 证(1)先取kx-2<1,则1<x<3,|x2-8=(x2+2x+4x=2)19-2 于是对任意的c>0,取6=m14>0,当0x=2<8时,成立 819-2<56,所以 lin 8 (2)首先函数后的定义域为x20,且N-2-2=4=-4,于是 对任意的E>0,取δ=min42s}>0,当0<kx-4<时,成立 2521-4≤,所以 lim√x=2。 (3)先取x-3<1,则2<x≤A,+122x+y小x-3,于是对任 意的>0,取δ=min6s}>0,当0<x-3<δ时,成立 -1-1-1x-3<a,所以 lim -= x→3x+1 (4)先取>1,则2x-12, x+11 ≤3,于是对任意 22x-12x 的>0,取x=max{2}>0,当>x时,成立2x-1236 x+1 < 所以 x→∞2x-12第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 < 1，则1 < x < 3， 8 ( 2 4)( 2) 19 2 3 2 x − = x + x + x − < x − ， 于是对任意的ε > 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 − 8 < 19 − 2 < ε 3 x x ，所以 lim x→2 x 3 ＝8。 （2）首先函数 x 的定义域为 x ≥ 0，且 4 2 1 2 4 2 ≤ − + − − = x x x x ，于是 对任意的 ε > 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 < x − 4 < δ 时，成立 − ≤ − 4 < ε 2 1 x 2 x ，所以 lim x→4 x = 2。 （3）先取 x − 3 < 1，则2 < x < 4， 2( 1) 3 2 1 1 1 + − − = + − x x x x 3 6 1 < x − ，于是对任 意 的 ε > 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 < x − 3 < δ 时，成立 2 1 1 1 − + − x x < − 3 < ε 6 1 x ，所以 lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 。 （4）先取 x > 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34