(5)对任意的G>0,取δ=e°>0,当0<x<δ时,成立lnx<-G,所 以 m In (6)对任意的0<E<1,取x=1n1>0,当x>x时,成立0<e<em=g, 所以 0 (7)先取0<x-2<1,则2<x<3,2x>1,于是对任意的G>0,取 6=m1},当0<x-2<6时,成立-2 (x+2x-2)x 所以 2 x2-4 8)先取x<-1,则一,>1,于是对任意的G>0,取X=maxG}, 当x<-X时,成立<x<-G,所以 lim 2.求下列函数极限: (1)im2x2-x-1 (2)im2x2-x-1 (3)lim 3x5-5x3+2y (4)lim (1+2x)(1+3x)-1 +x (6)lim (1+mx)2-(l+nx) li sin x-sina lim coSx-COS3x 0 lim tanx=snx。 解 =m、x+1 2 x12x2-x-1x12x+13 (2)lim (3)im x→0 (4)1m(+2x1+3x)-1=1m0+5x+6x)-1=5。（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 < x < δ 时，成立 ，所 以 ln x < −G lim ln x x → +0 = −∞。 （6）对任意的0 < ε < 1，取 0 1 = ln > ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε < < = − ln 0 e e x lim x→+∞ e− x ＝0。 （7）先取0 < x − 2 < 1，则2 < x < 3， 1 2 2 > x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 G x x x x x x > − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x < −1，则 1 1 > x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35