第3章爱尔朗排队系统 第2章我们研究了生灭排队系统,它的基本特点是:状态转移只能在相邻状态之间 进行。现在放宽这种限制,允许状态的转移可以在不相邻状态之间进行,各种基本分布 仍然是负指数型的。我们可以把它想象为更一般的生灭系统。 我们仍然只考虑在排队系统达到稳态后的状态变化情况,即只求系统的平衡解。第 2章所讲的平衡状态下的信息流速率守恒的原理在这里仍然适用,即流入某状态的信息 速率与流出该状态的信息流速率是相等的。同样,我们采用状态转移率图来描述状态的 转移。 3.1爱尔郎分布概率密度函数的推导 在第1章我们曾经复习过r阶爱尔郎分布的定义,亦即,设v,v2, 是r个 相互独立的、服从相同参数rμ的负指数分布的连续型随机变量,则称T=v1+v2+…+v 服从r阶爱尔郎分布 为了叙述方便起见,下面以服务时间(连续型随机变量)为例,推导爱尔郎分布的 概率密度函数。我们已经知道,负指数分布的服务时间(以及到达间隔时间为负指数分 布)在分析排队系统中是非常简单和非常有用的。但是在实际生活中,有些排队系统的 特性并不符合负指数分布,若仍然用负指数分布来描述系统就会产生较大的误差。为了 解决这个问题,在这一节中,我们研究多个负指数分布的组合,以导出一种新的服务时 间分布。 服务时间为负指数分布的服务装置如图3.1所示。 图3.1单级负指数分布服务 圆圈代表一个系统的服务装置,它的服务时间分布为负指数分布。圆圈中的代表 服务率。 该负指数分布的概率密度函数为 b( )sJke-t≥0 e-"u(t),u()是单位阶跃函数 0t<0 这个系统的数学期望和方差值分别为:486 第 3 章 爱尔朗排队系统 第 2 章我们研究了生灭排队系统，它的基本特点是：状态转移只能在相邻状态之间 进行。现在放宽这种限制，允许状态的转移可以在不相邻状态之间进行，各种基本分布 仍然是负指数型的。我们可以把它想象为更一般的生灭系统。 我们仍然只考虑在排队系统达到稳态后的状态变化情况，即只求系统的平衡解。第 2 章所讲的平衡状态下的信息流速率守恒的原理在这里仍然适用，即流入某状态的信息 速率与流出该状态的信息流速率是相等的。同样，我们采用状态转移率图来描述状态的 转移。 3.1 爱尔郎分布概率密度函数的推导 在第 1 章我们曾经复习过r 阶爱尔郎分布的定义，亦即，设 1 v ， 2 v ，， r v 是r 个 相互独立的、服从相同参数r 的负指数分布的连续型随机变量，则称 r T  v  v  v 1 2 服从r 阶爱尔郎分布。 为了叙述方便起见，下面以服务时间（连续型随机变量）为例，推导爱尔郎分布的 概率密度函数。我们已经知道，负指数分布的服务时间（以及到达间隔时间为负指数分 布）在分析排队系统中是非常简单和非常有用的。但是在实际生活中，有些排队系统的 特性并不符合负指数分布，若仍然用负指数分布来描述系统就会产生较大的误差。为了 解决这个问题，在这一节中，我们研究多个负指数分布的组合，以导出一种新的服务时 间分布。 服务时间为负指数分布的服务装置如图 3.1 所示。  图 3.1 单级负指数分布服务 圆圈代表一个系统的服务装置，它的服务时间分布为负指数分布。圆圈中的 代表 服务率。 该负指数分布的概率密度函数为：   e u t t e t b t t t              0 0 0 ，ut是单位阶跃函数。 这个系统的数学期望和方差值分别为：