重庆大学：《通信网络中的排队论基础》研究生课程（讲义）第3章 爱尔朗排队系统

目录 第3章爱尔郎排队系统 3.1爱尔郎分布 3.2爱尔朗排队系统的相位分析法 3.3M/E./1排队模型 34E/M/排队模型 3.5批到达排队系统 3.6批服务排队系统

目 录 第 3 章 爱尔郎排队系统 3.1 爱尔郎分布 3.2 爱尔朗排队系统的相位分析法 3.3 M / E / 1 r 排队模型 3.4 E / M / 1 r 排队模型 3.5 批到达排队系统 3.6 批服务排队系统

第3章爱尔朗排队系统 第2章我们研究了生灭排队系统,它的基本特点是:状态转移只能在相邻状态之间 进行。现在放宽这种限制,允许状态的转移可以在不相邻状态之间进行,各种基本分布 仍然是负指数型的。我们可以把它想象为更一般的生灭系统。 我们仍然只考虑在排队系统达到稳态后的状态变化情况,即只求系统的平衡解。第 2章所讲的平衡状态下的信息流速率守恒的原理在这里仍然适用,即流入某状态的信息 速率与流出该状态的信息流速率是相等的。同样,我们采用状态转移率图来描述状态的 转移。 3.1爱尔郎分布概率密度函数的推导 在第1章我们曾经复习过r阶爱尔郎分布的定义,亦即,设v,v2, 是r个 相互独立的、服从相同参数rμ的负指数分布的连续型随机变量,则称T=v1+v2+…+v 服从r阶爱尔郎分布 为了叙述方便起见,下面以服务时间(连续型随机变量)为例,推导爱尔郎分布的 概率密度函数。我们已经知道,负指数分布的服务时间(以及到达间隔时间为负指数分 布)在分析排队系统中是非常简单和非常有用的。但是在实际生活中,有些排队系统的 特性并不符合负指数分布,若仍然用负指数分布来描述系统就会产生较大的误差。为了 解决这个问题,在这一节中,我们研究多个负指数分布的组合,以导出一种新的服务时 间分布。 服务时间为负指数分布的服务装置如图3.1所示。 图3.1单级负指数分布服务 圆圈代表一个系统的服务装置,它的服务时间分布为负指数分布。圆圈中的代表 服务率。 该负指数分布的概率密度函数为 b( )sJke-t≥0 e-"u(t),u()是单位阶跃函数 0t<0 这个系统的数学期望和方差值分别为:

486 第 3 章 爱尔朗排队系统 第 2 章我们研究了生灭排队系统，它的基本特点是：状态转移只能在相邻状态之间 进行。现在放宽这种限制，允许状态的转移可以在不相邻状态之间进行，各种基本分布 仍然是负指数型的。我们可以把它想象为更一般的生灭系统。 我们仍然只考虑在排队系统达到稳态后的状态变化情况，即只求系统的平衡解。第 2 章所讲的平衡状态下的信息流速率守恒的原理在这里仍然适用，即流入某状态的信息 速率与流出该状态的信息流速率是相等的。同样，我们采用状态转移率图来描述状态的 转移。 3.1 爱尔郎分布概率密度函数的推导 在第 1 章我们曾经复习过r 阶爱尔郎分布的定义，亦即，设 1 v ， 2 v ，， r v 是r 个 相互独立的、服从相同参数r 的负指数分布的连续型随机变量，则称 r T  v  v  v 1 2 服从r 阶爱尔郎分布。 为了叙述方便起见，下面以服务时间（连续型随机变量）为例，推导爱尔郎分布的 概率密度函数。我们已经知道，负指数分布的服务时间（以及到达间隔时间为负指数分 布）在分析排队系统中是非常简单和非常有用的。但是在实际生活中，有些排队系统的 特性并不符合负指数分布，若仍然用负指数分布来描述系统就会产生较大的误差。为了 解决这个问题，在这一节中，我们研究多个负指数分布的组合，以导出一种新的服务时 间分布。 服务时间为负指数分布的服务装置如图 3.1 所示。  图 3.1 单级负指数分布服务 圆圈代表一个系统的服务装置，它的服务时间分布为负指数分布。圆圈中的 代表 服务率。 该负指数分布的概率密度函数为：   e u t t e t b t t t              0 0 0 ，ut是单位阶跃函数。 这个系统的数学期望和方差值分别为：

ET] 现在考虑如图32所示的系统,它由两个服务时间为负指数分布的服务装置串联构 成,单个服务装置的服务率为2H。 2 图32两级负指数分布服务 单个服务装置的概率分布密度函数为: h()=2/e2"ult) 相应的数学期望和方差为 E[T,]=e, D[, I 这样一个两级服务装置的工作方式是:一个顾客进入前一级接受服务,服务完毕后 再进入下一级,两级服务完成后,该顾客离开系统。此时,才允许下一个顾客进入前一 级装置接受服务。 在任意一个时刻,这两级服务装置的忙闲状态只有以下三种情况之一: 第一级忙,第二级闲。 第一级闲,第二级忙 ③两级均空闲。 个顾客在系统中接受服务的时间等于各级服务时间的和,而这两个服务时间是相 互独立具有同分布的。在概率论中我们已经学过,两个独立随机变量的和的概率密度函 数等于它们概率密度函数的卷积。由此可以推得 b2()=b()*b()=」h()(-)dr =2e2.2er=2(2u)2m t≥0 又根据:随机变量和的数学期望等于它们的数学期望的和,随机变量和的方差等于 它们方差的和。我们有 E]=2E]=,D[]=D[]+D[]= 对于这样一个系统,仅说明系统中的顾客数是不够的。为了能总和系统在任意时刻 487

487    1 E T  ，   2 1  D T  现在考虑如图 3.2 所示的系统，它由两个服务时间为负指数分布的服务装置串联构 成，单个服务装置的服务率为2 。 2 2 图 3.2 两级负指数分布服务 单个服务装置的概率分布密度函数为： h  t e u t t  2 2   相应的数学期望和方差为：   2 1 E Th  ，    2 2 1  D Th  这样一个两级服务装置的工作方式是：一个顾客进入前一级接受服务，服务完毕后 再进入下一级，两级服务完成后，该顾客离开系统。此时，才允许下一个顾客进入前一 级装置接受服务。 在任意一个时刻，这两级服务装置的忙闲状态只有以下三种情况之一： ① 第一级忙，第二级闲。 ② 第一级闲，第二级忙。 ③ 两级均空闲。 一个顾客在系统中接受服务的时间等于各级服务时间的和，而这两个服务时间是相 互独立具有同分布的。在概率论中我们已经学过，两个独立随机变量的和的概率密度函 数等于它们概率密度函数的卷积。由此可以推得： b t ht ht 2       h ht d                   e e d t t       2 0 2 2 2   t t e    2 2 2   t  0 又根据：随机变量和的数学期望等于它们的数学期望的和，随机变量和的方差等于 它们方差的和。我们有：     1 E T  2E Th  ，      2 1 2 DT DT DT h h   对于这样一个系统，仅说明系统中的顾客数是不够的。为了能总和系统在任意时刻

以前的全部历史,还必须说明此刻在服务装置中的顾客正处于哪一级装置上。为此,我 们用一个两维的随机变量E.,来表示系统的状态。它说明系统中共有k个顾客,其中正在 接受服务的那个顾客现在正处于第j级,这样一个随机变量实际上是满足马尔柯夫特性 的。状态的下一次变化(EH,E4M,…)只与E.,有关,而与Ek,以前的状态无关。 推广以上的两级装置,我们可以有一个r级服务装置,如图3.3所示。 图3.3r级负指数分布服务 其中单级的概率密度函数为: h(t)=rue u(o) 相应的数学期望和方差为:E[ 万] 我们可以直接求出系统服务时间的数学期望和方差 E[T]=rE(T=rru/u D[门]=rD[] 系统的服务时间分布的密度函数等于r个负指数分布的卷积,采用求卷积积分的方 法来求解这个分布是很困难的。为了简化求解过程,可以釆用拉普拉斯变换法来求解。 取负指数分布的拉普拉斯变换 h()<→H(s) 令b,()的拉普拉斯变换为B,(s)。 根据卷积定理,时域中的卷积等于变换域中的乘积,故有 B()=H'(s) s+r 求拉普拉斯逆变换,得 t≥0 (3.1) 这就是著名的r阶爱尔郎分布 如果在(31)式中令r=1,就得到了负指数分布,由此可知,负指数分布是爱尔 郎分布的一种特殊形式。爱尔郎分布具有广泛的用途,许多实际系统都可以用爱尔郎分 488

488 以前的全部历史，还必须说明此刻在服务装置中的顾客正处于哪一级装置上。为此，我 们用一个两维的随机变量 Ek , j 来表示系统的状态。它说明系统中共有k 个顾客，其中正在 接受服务的那个顾客现在正处于第 j 级，这样一个随机变量实际上是满足马尔柯夫特性 的。状态的下一次变化（ Ek , j1 ，Ek1, j ，）只与 Ek , j 有关，而与 Ek , j 以前的状态无关。 推广以上的两级装置，我们可以有一个r 级服务装置，如图 3.3 所示。 r r  r r 1 2 r1 r 图 3.3 r 级负指数分布服务 其中单级的概率密度函数为： h  t r e u t rt    相应的数学期望和方差为：   1 E Th r  ，    2 1 D Th r  我们可以直接求出系统服务时间的数学期望和方差：    1 1 E T rE T r h r          ，    2 1 D T rD Th r   系统的服务时间分布的密度函数等于r 个负指数分布的卷积，采用求卷积积分的方 法来求解这个分布是很困难的。为了简化求解过程，可以采用拉普拉斯变换法来求解。 取负指数分布的拉普拉斯变换：      s r r h t H s    令b  t r 的拉普拉斯变换为 B  s r 。 根据卷积定理，时域中的卷积等于变换域中的乘积，故有   r r r s r r B s H s              求拉普拉斯逆变换，得       1 ! 1     r r r t e b t r r t r    t  0 （3.1） 这就是著名的 r 阶爱尔郎分布。 如果在（3.1）式中令r  1，就得到了负指数分布，由此可知，负指数分布是爱尔 郎分布的一种特殊形式。爱尔郎分布具有广泛的用途，许多实际系统都可以用爱尔郎分

布来描述,下面我们将要研究具有爱尔郎分布的排队系统。 3.2爱尔朗排队系统的相位分析法 根据爱尔郎分布的定义,一个r阶爱尔朗分布的随机变量(参数为r)为r个相互 独立、服从相同参数为r的负指数分布的随机变量之和。因此,若某个服务者的服务 时间的概率分布服从分布密度为b()=gcm(20)的r阶爱尔朗分布,则可 认为某顾客在其整个服务过程中通过了r级参数为r的相互独立的负指数分布服务装 置(在服务装置之间无等待)。若将每一级服务装置看作一个相位,一个顾客服务完成 则相当于该顾客经历完这r个相位,每个相位的服务时间均值为1。仅当一个顾客经 历完最后一个相位的服务后,下一顾客才能开始接受服务。 我们将服务时间分布服从r阶爱尔朗分布的服务机构按相位分解如图34所示。 到达 )>(m)…→(m)→… 离去 服务装置 图34r阶爱尔朗服务时间的服务机构相位分解 同样,若把到达间隔时间服从r阶爱尔朗分布(参数为r)的随机变量,看作是r 个参数为r的负指数分布的随机变量之和。则可以把每一顾客到达排队系统看作首先 须通过r级串联的到达装置才能进入排队系统等待或接受服务。通过每一个到达装置的 时间服从参数为r的负指数分布,每个到达装置为一个相位。一个顾客须通过r级到达 装置完毕才能进入排队系统,此时下一个顾客才能进入到达装置。这种相位分解法,使 得我们再次可利用负指数分布的无后效性。 将到达间隔时间分布为E的相位分解如图35描述。 服务机构/离去 到达装置

489 布来描述，下面我们将要研究具有爱尔郎分布的排队系统。 3.2 爱尔朗排队系统的相位分析法 根据爱尔郎分布的定义，一个r 阶爱尔朗分布的随机变量（参数为r ）为r 个相互 独立、服从相同参数为r 的负指数分布的随机变量之和。因此，若某个服务者的服务 时间的概率分布服从分布密度为       1 ! 1     r r r t e b t r r t r    （t  0 ）的r 阶爱尔朗分布，则可 认为某顾客在其整个服务过程中通过了 r 级参数为 r 的相互独立的负指数分布服务装 置（在服务装置之间无等待）。若将每一级服务装置看作一个相位，一个顾客服务完成 则相当于该顾客经历完这r 个相位，每个相位的服务时间均值为 r 1 。仅当一个顾客经 历完最后一个相位的服务后，下一顾客才能开始接受服务。 我们将服务时间分布服从r 阶爱尔朗分布的服务机构按相位分解如图 3.4 所示。 r r  r r 1 2 i r  图 3.4 r 阶爱尔朗服务时间的服务机构相位分解 同样，若把到达间隔时间服从r 阶爱尔朗分布（参数为r ）的随机变量，看作是r 个参数为r 的负指数分布的随机变量之和。则可以把每一顾客到达排队系统看作首先 须通过r 级串联的到达装置才能进入排队系统等待或接受服务。通过每一个到达装置的 时间服从参数为r 的负指数分布，每个到达装置为一个相位。一个顾客须通过r 级到达 装置完毕才能进入排队系统，此时下一个顾客才能进入到达装置。这种相位分解法，使 得我们再次可利用负指数分布的无后效性。 将到达间隔时间分布为 Er 的相位分解如图 3.5 描述。 r r  r r 1 2 i r 

图3.5E到达间隔时间分布相位分解 图35中表明,当某一顾客处于相位i时,表明该顾客已通过了i-1级到达装置 3.3M/E,八排队模型 如果排队系统的顾客到达间隔时间X为负指数分布(即顾客到达过程为泊松过 程),服务时间T为r阶爱尔郎分布,即 ≥0 b(0=ru(ru)"ru t≥0 (-1 则称这个排队系统为M/E1/1排队系统。 系统服务时间分布为r阶爱尔郎分布(参数为r),其系统服务时间的数学期望和 方差: E[]=1,Dm= r 根据上节的讨论知道,爱尔郎服务装置实际上是负指数服务装置的串联形式,即r阶 爱尔郎服务时间分布可以分解为r级负指数服务时间分布。同时,我们知道,描述这个 排队系统的马尔柯夫过程的随机变量是一个二维离散变量。该随机变量的状态值EA必 须同时说明系统中的顾客数k,以及正在接受服务的顾客现在所处服务装置的级数j。 与此相对应,描述系统状态的概率分布函数也必须是一个二维分布P,,这就使得分析 和计算变得比较复杂。 现在我们设法把这个二维随机变量变换为一维随机变量。我们以系统中顾客需要经 过的服务装置级数的总和作为随机变量。也就是说,假定系统中有k个顾客,我们就把 要完成这k个顾客的服务所需级数的总数作为随机变量。每当一个新的顾客到达,总级 数就增加r,而每完成一级服务,总级数就减少1。注意,在任何时候,r级服务装置中 最多有一级在工作。 假定在某个时刻,系统中有k个顾客,并且这时第i级服务装置正准备对某一顾客 进行服务。若令j为系统中未完成的总级数,则在系统中顾客数非零的前提下,有 j=(k-1)+[-(-1)=(k-1)y+(-i+1)=rk-i+1 我们用小写的Pk代表系统中有k个顾客的概率,而用大写的P代表系统中未完成

490 图 3.5 Er 到达间隔时间分布相位分解 图 3.5 中表明，当某一顾客处于相位i 时，表明该顾客已通过了i 1级到达装置。 3.3 M / E / 1 r 排队模型 如果排队系统的顾客到达间隔时间 X 为负指数分布（即顾客到达过程为泊松过 程），服务时间T 为r 阶爱尔郎分布，即                      0 1 0 1 t r ! r r t e b t a x e x r r t r x      （3.2） 则称这个排队系统为 / /1 M Er 排队系统。 系统服务时间分布为r 阶爱尔郎分布（参数为r ），其系统服务时间的数学期望和 方差：   1 E T   ，   2 1 D T r  根据上节的讨论知道，爱尔郎服务装置实际上是负指数服务装置的串联形式，即r 阶 爱尔郎服务时间分布可以分解为r 级负指数服务时间分布。同时，我们知道，描述这个 排队系统的马尔柯夫过程的随机变量是一个二维离散变量。该随机变量的状态值 Ek , j 必 须同时说明系统中的顾客数k ，以及正在接受服务的顾客现在所处服务装置的级数 j 。 与此相对应，描述系统状态的概率分布函数也必须是一个二维分布 Pk , j ，这就使得分析 和计算变得比较复杂。 现在我们设法把这个二维随机变量变换为一维随机变量。我们以系统中顾客需要经 过的服务装置级数的总和作为随机变量。也就是说，假定系统中有k 个顾客，我们就把 要完成这k 个顾客的服务所需级数的总数作为随机变量。每当一个新的顾客到达，总级 数就增加r ，而每完成一级服务，总级数就减少 1。注意，在任何时候，r 级服务装置中 最多有一级在工作。 假定在某个时刻，系统中有k 个顾客，并且这时第i 级服务装置正准备对某一顾客 进行服务。若令 j 为系统中未完成的总级数，则在系统中顾客数非零的前提下，有 j     k 1 r  r  i 1     k 1 r  r  i 1  rk  i 1 我们用小写的 k p 代表系统中有k 个顾客的概率，而用大写的 Pj 代表系统中未完成

的总级数为j的概率,即定义 P=原统中有级未完成] 系统中有k个顾客等效于,某一顾客走完系统中kr级服务装置中的r级服务装置 即,Pk与P1之间的关系为: P P k j=(k-1)r+1 而当k=0时,对应于系统服务装置的级数j=0,此时P=P。 为了求P,现在我们来考虑状态转移率图。由于系统的状恋巳经不是顾客数,而是 未完成的服务级总数,故状态转移率图应该反映级数的变化和转移。如图136所示。 图3.6服务级数的状态转移率图 每个顾客以到达率λ进入系统,并使级数增加r级,这对应着图上部的转移;每个 顾客以服务率r完成一级服务,并使级数减少一级,这对应着图下部的转移。 由图知,对状态j,进入它的箭头有两个:一个来自左移r个位置的状态j-r,这 是由新到达一个顾客所引起r个级数的增加。另一个来自状态j+1,这是由于一个服务 装置服务结束所导致的状态变化。 显然,若j<0,则P=0 可以证明,在此种情况下,系统服务装置级数随时间变化的过程可化为一个离散状 态空间连续时间参数的马尔柯夫过程(但化不成生灭过程)。当一<1时,平稳分布存在 这时可根据状态转移率图,并考虑到统计平衡条件下,任一状态的流出应与流入相等, 于是可以写出平衡方程 APo=ruP (3.3) (a+ru)p=aP-+ruP I j=1,2, (3.4) (34)式是左端是流出的,右端是流进的。它是一个差分方程,我们可以采用z变

491 的总级数为 j 的概率，即定义： Pj  P  系统中有 j级未完成 系统中有k 个顾客等效于，某一顾客走完系统中kr 级服务装置中的r 级服务装置， 即， k p 与 Pj 之间的关系为：       kr j k r p k Pj 1 1 k  1,2, 而当k  0 时，对应于系统服务装置的级数 j  0 ，此时 0 0 p  P 。 为了求 Pj ，现在我们来考虑状态转移率图。由于系统的状态已经不是顾客数，而是 未完成的服务级总数，故状态转移率图应该反映级数的变化和转移。如图 13.6 所示。 0 1 2 r r+1   r   j j+1  j-r r r r   图 3.6 服务级数的状态转移率图 每个顾客以到达率 进入系统，并使级数增加r 级，这对应着图上部的转移；每个 顾客以服务率r 完成一级服务，并使级数减少一级，这对应着图下部的转移。 由图知，对状态 j ，进入它的箭头有两个：一个来自左移r 个位置的状态 j  r ，这 是由新到达一个顾客所引起r 个级数的增加。另一个来自状态 j 1，这是由于一个服务 装置服务结束所导致的状态变化。 显然，若 j  0 ，则 0 Pj  。 可以证明，在此种情况下，系统服务装置级数随时间变化的过程可化为一个离散状 态空间连续时间参数的马尔柯夫过程（但化不成生灭过程）。当 1    时，平稳分布存在。 这时可根据状态转移率图，并考虑到统计平衡条件下，任一状态的流出应与流入相等， 于是可以写出平衡方程 0 P1 P  r （3.3）    j  jr  Pj1  r P P r j  1,2, （3.4） （3.4）式是左端是流出的，右端是流进的。它是一个差分方程，我们可以采用 z 变

换(概率母函数法)来求它的解。 首先定义一个单边二变换 P()=∑P 注意到(34)式仅对j≥1适用,我们在其两端取和式: ∑(+p)P==∑ 改写上式,得 ( P P|=2z P 注意到 (1)∑P=1=P() (2)∑P-=∑P-==∑P=P()(∵P-=0,j<r) (3)∑P=∑P=++P=-P-P ∑Pn=--F=P(z)-P- 故(36)式可写为 (+r)P()-]=P()+[P(-)-P- 在上式中应用(133)式进行简化,最后可得 Pol2+rA B(--) A+r-在 上式中还有一个未知数P,现在来求这个值 根据z变换的定义(35)式可知 价=∑P 在(37)式中令z=1,就可求得P,但要注意到,直接将z=1代入(37)式的右

492 换（概率母函数法）来求它的解。 首先定义一个单边 z 变换：   j j j P z P z    0 （3.5） 注意到（3.4）式仅对 j  1适用，我们在其两端取和式：   j j j j j r j j j j  r P z  P z r P z            1 1 1 1     改写上式，得   1 1 1 0 1 0                        j j j j r j j r r j j j P z z r r P z P z P z     （3.6） 注意到： （1） P z P z j j  j   0 （2） P z P z Pz P z i i i j r j r j r j r j  j r                1 0 ( 0 Pj r   ， j  r ) （3） 1 1 1 1 01 01 1 1 j j j j j j P z P z P Pz P Pz             P z P P z P  Z P P z n n n 0 1 0 1 0         故（3.6）式可写为：          P z P P z z r r P z P z P z r   0    0  1     在上式中应用（13.3）式进行简化，最后可得     r z   r z r P z z r r z r P z r P r P z r r                                1 0 0 1 1 （3.7） 上式中还有一个未知数 P0，现在来求这个值。 根据 z 变换的定义（3.5）式可知   1 1 0    j P Pj 在（3.7）式中令 z  1，就可求得 P0，但要注意到，直接将 z  1代入（3.7）式的右

端将会出现的情况,故必须采用罗必塔法则求z→1时的极限。 +1-(+m)) +1)2 故P (3.8) 把(38)代入(3.7)得 P() (-pX1- (3.9) r++-(2+m 这就是我们所求的P的变换式P(=) (39)式对服务时间为任意阶(r≥1)爱尔郎分布的排队系统都成立,负指数分 布是一阶爱尔郎分布,所以r=1,有 p)∑()=∑ 与z变换的定义式P()=∑P=比较,得 P=(1-p) 很明显,当r=1时,p=P,故 p4=(1-p) 这个式子就相当于第11章讨论过的M/M/1系统的P表达式,结果完全一样。 对于任意r>1值,求解P要复杂得多,现在我们来求解当r>1时的P 将(39)式的分母重写为 r+--(+p)=(1-)-(=+2+…+)] (3.10) 上式方括号中的多项式是关于z的r次多项式,可以证明有r个不同的零点,分别 用 ,表示这互异的r个根,且|=|>1,=均为实根。于是(310)式方括 号部分为

493 端将会出现 0 0 的情况，故必须采用罗必塔法则求 z 1时的极限。           ' 1 ' 0 1 1 1 lim r z r z r P z P z r                    r z r r P r z       1 lim 0 1 1 0       r r r P 故    P0  1  1 （3.8） 把（3.8）代入（3.7）得      r z   r z r z P z r             1 1 1 （3.9） 这就是我们所求的 Pj 的 z 变换式 Pz。 （3.9）式对服务时间为任意阶（r  1）爱尔郎分布的排队系统都成立，负指数分 布是一阶爱尔郎分布，所以r  1，有      z  z z P z             2 1 1      z z z z       1 1 1 1   z     1 1   0 1 j j  z        0 1 j j j   z      与 z 变换的定义式   j j j P z P z    0 比较，得   1 j Pj     很明显，当r  1时， k k p  P ，故   k k p  1   这个式子就相当于第 11 章讨论过的M / M /1系统的 Pi 表达式，结果完全一样。 对于任意r  1值，求解 Pj 要复杂得多，现在我们来求解当r  1时的 Pj 。 将（3.9）式的分母重写为      1 2 1 r r r z r z zr zz z                  （3.10） 上式方括号中的多项式是关于 z 的r 次多项式，可以证明有r 个不同的零点，分别 用 1z ， 2 z ，， r z 表示这互异的r 个根，且 1 i z  ， i z 均为实根。于是（3.10）式方括 号部分为：

=-A|x7+…+z2+ =-1(=-=)(x-=2)…(2-)(3.11) 两端令z=0,得 2122…2 将以上两式代入(139)式,得 P() rp(-p(1-) r+x-(2+r)2 ,(1-p)( (1--=)r4-x A(=-=)(=-=2)…( (-1)=12…,(1-p) 1)(二-=2)…( (3.13) 根据部分分式的展开定理,可得 P()=(1-p)∑ (3.14) 其中A= 于是得 P()=(0-2)4=(-2∑A ∑4() (1-p)∑∑4() (3.15)

494   2 2 r r r r zz z z z z                       1 2   r      zz zz zz  （3.11） 两端令 z  0，得   1 1 2 1 r r r zz z       （3.12） 将以上两式代入（13.9）式，得      r z   r z r z P z r             1 1 1          1 1 2 2 1 11 1 r r r zz z z zr zz z                          1 1 2 1 2 1 1 r r r zz z zz zz zz                     1 2 1 2 1 1 r r r zz z zz zz zz         1 2 1 11 1 r zz z zz z                      （3.13） 根据部分分式的展开定理，可得    1 1 1 r i i i A P z z z             （3.14） 其中 1 1 1 r i n i n i n A z z            于是得      1 10 1 1 1 j r r i i i ij i i A z Pz A z z z                          1 0 1 r j j i i i j  A z z           0 1 1 r j j i i j i  A z z               （3.15）