△t+i△y m =f()(2 △=△x+i△y,无论按什么方向→0, (2)总成立。 先令Ay=0,△x≠0,则(2)式变为 av lim+ilim=f(=)(3) 即 (由(3)知,一和一肯定存在) 再令Ax=0,4y≠0,则(2)式变为 ilim+lim=f'()(5) ay △y→0 ay 即-1+=f()(6) 比较(4)6)式,得 au av au av (C.-R.) C.-R.条件是复函数在一点可导的必要条件 定理1f()=u+p在区域D内一点(x,y)可导的充要条件为u,分别在点(x,y)可 微,并且在该点满足C-R方程(条件) 证明:必要性设∫(=)在D内一点 z=x+p可微。则 ()=f(=)A+mA 7=n1+in2>0, 当Az→0时,令 f(=)=a+iB,△=Ax+i△y, (-)=△a+i△v,( . .) (4)(6) ( ) (6) ( ) (5) 0, 0,, (2) ( (3) ( ) ( ) (3) 0, 0, (2) (2) , 0 ( ) (2) lim lim lim lim lim 0 0 0 0 ' 0 0 C R x v y u y v x u f z y v y u i f z y v y u i x y x v x u f z x v i x u f z x v i x u y x z x i y f z x i y u i v y y z z y z −   = −     =   =    +   − =    +   −  =       =    +   =    +    =    =  +  → =  +   +   →  →  →  →  →  → ， 比较 式，得 即 再令 则 式变为 由 知， 和 肯定存在） 即 先令 则 式变为 总成立。 无论按什么方向 ， C.-R.条件是复函数在一点可导的必要条件. 定理 1 f (z) = u + iv 在区域 D 内一点 (x, y) 可导的充要条件为 u, v 分别在点 (x, y) 可 微，并且在该点满足 C-R 方程（条件）。 证明：必要性 设 f (z) 在 D 内一点 ( ) , ( ) , , 0 0, ( ) ( ) , . 1 2 f z u i v f z i z x i y z i f z f z z z z x iy  =  +   = +  =  +   → = + →  =   +  = +       当 时，令 可微。则