充分性若u,v在(xy)点可微, 则 △=Ax+u,Ay+p1 v Ay+p 其中p和p2是p=√△x2+Ay2 的高阶无穷小由C-R条件 设 a=l2=v,-B=l,=-v 则 (aAr- pAy+P1)+(BAr+aAy+p2) =(a+iB)(A+iAy)+P1+p2 则 或 △t+i△v = aAr- BAy+i(BAr+aAy)+P,+i iB 这里p1=Re(nA),P2=Im(nA) 由 P1+1p2= BAy+P, Ay√△x2+Ay2 △v=BAx+ay+p2 由二元函数的微分定义,知l,y在(xy 1|+|p2 点可微。且 D→>0(A→0) x=a=",uy=-B=-:(C-R条件) 所以lim,=a+B y→0 推论1若函数f()在点二=x+p 可导,则 au av av au f(二)=-+i--= 推论2若函数f(z)在点=x+y 可导,则它在该点连续 证明:f()=u+在点(x,y) 可导,则u,在(x,y)可微, 从而u,V在(x,y)连续, 即f()在(x,y)连续。条件） 点可微。且 由二元函数的微分定义，知 在 由 这里 则 u v u v C R u v x y v x y u x y z z x y i x y i u i v x = = y y = − = − x −  =  +  +  =  −  + =  =  =  −  +  +  + +  +  , ( , ( . ) Re( ), Im( ) ( ) 2 1 1 2 1 2                   0 ( 0) ( )( ) ( ) ( ) , , ( . ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 →  → +   +  + =  +  +  +  + = + +   = +  +  + + =  −  + +  +  +  =  +  = = − = = − − =  +   =  +  +  =  +  + z x y i x i y i x i y i i z f i x i y x y i x y f u i v C R x y v x y u x y u v x y u v u v v v u u x y y x x y x y                             或 则 设 的高阶无穷小 由 条件， 其中 和 是 则 充分性 若 在 点可微， 即 在（ ， ）连续。 从而 在（ ， ）连续， 可导，则 在（ ， ）可微， 证明： 在点（ ， ） 可导，则它在该点连续 推论 若函数 在点 可导，则 推论 若函数 在点 所以 f z x y u v x y u v x y f z u iv x y f z z x iy y u i y v x v i x u f z f z z x iy i z f y ( ) , , ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ' 0 lim = + = +   −   =   +   = = + = +   →   