《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 §3一般项级数 教学目标：掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法. 教学内容：交错级数：莱布尼茨判别法：狄利克雷判别法：阿贝尔判别法：条件收敛：绝对收 敛 (1)基本要求：掌握条件收敛和绝对收敛的定义，掌握交错级数的莱布尼茨判别法. (②)较高要求：掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的 性质. 散学建议： (①)本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝 对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论.总结判别一般项级数的敛散性的各种方法. (②)本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好 学生掌握绝对收敛级数的性质。 教学过程： 一、交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 ∑(-)4n，(un>0,m) 称为交错级数。 定理12.31（莱布尼茨判别法）若交错级数∑-)“，满足下述两个条件： (1)数列{un}单调递减：(2)m4,=0。 则级数立-)，收敛。且此时有它-)4飞4。 证明：因S2m1=4-(4,-4,)-(仙m-2一山m-)≤4是递减的： 而S=(4-)+(仙，-)++（仙-山）是递增的。又 0<S2-S2m=山2m→0(m→o),从而{S2m,S2m-]}是一个闭区间套，故由闭区间套定 《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 1 §3 一般项级数 教学目标：掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 教学内容：交错级数；莱布尼茨判别法； 狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对收 敛． (1) 基本要求：掌握条件收敛和绝对收敛的定义，掌握交错级数的莱布尼茨判别法． (2) 较高要求：掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的 性质． 教学建议： (1) 本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝 对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的敛散性的各种方法． (2) 本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好 学生掌握绝对收敛级数的性质． 教学过程： 一、 交错级数 若级数的各项符号正负相间，即   = + − 1 1 ( 1) n n n u ，(u 0, n) n   称为交错级数。 定理 12.3.1（莱布尼茨判别法） 若交错级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足下述两个条件： （1） 数列 un  单调递减； （2） lim = 0 → n n u 。 则级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。且此时有 1 1 1 ( 1) u u n n n  −   = + 。 证明：因 2 1 1 2 3 2 2 2 1 1 S m− = u − (u − u ) −− (u m− − u m− )  u 是递减的； 而 ( ) ( ) ( ) S2m = u1 − u2 + u3 − u4 ++ u2m−1 − u2m 是递增的。又 0  S2m−1 − S2m = u2m → 0 (m → ) ，从而 {[ , ]} S2m S2m−1 是一个闭区间套，故由闭区间套定