《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 理知，存在唯一的一个数S,使 lim S2=lim S2=S, 故数列)收敛，即级数-)"，收敛 至于不等式2-)us%由S≤4即可得。 推论：若级数∑-)“，满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为 R2-u54. 例1、判别下列级数的收敛性：①-n:2含-o一 ③)2-0· 二、绝对收敛级数及其性质 若级数∑4n各项绝对值所组成的级数∑4收敛，则称原级数∑“。绝对收敛。 定理12.3.2绝对收敛的级数一定收敛 证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例2、对任何实数口，级数三阳是绝对收敛的， 若级数∑4n收敛，但级数∑4发散，则称级数∑4n条件收敛。 如：三-广中是条件收敛的：豆-”2和2-广是绝对收敛的. 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 绝对收敛的级数有以下性质： 1、级数的重排 定理12.3.3设级数∑4，绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到的级数也绝对收《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 2 理知，存在唯一的一个数 S，使 S S m S m m m = = → − → 2 1 2 lim lim ， 故数列 Sn  收敛，即级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。 至于不等式 1 1 1 ( 1) u u n n n  −   = + 由 S2m−1  u1 即可得。 推论： 若级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为 1 1 1 ( 1) +  = + + =  −  n k n k k Rn u u 。 例 1、判别下列级数的收敛性：（1） 1 1 ( 1) 1 1 +  −  = + n n n ；（2） (2 1)! 1 ( 1) 1 1 −  −  = + n n n ； （3） n n n n 10 ( 1) 1 1   = + − 。 二 、 绝对收敛级数及其性质 若级数 un 各项绝对值所组成的级数 un 收敛，则称原级数 un 绝对收敛。 定理 12.3.2 绝对收敛的级数一定收敛。 证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例 2、对任何实数  ，级数   =1 ! n n n  是绝对收敛的。 若级数 un 收敛，但级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛。 如： 1 1 ( 1) 1 1 +  −  = + n n n 是条件收敛的； (2 1)! 1 ( 1) 1 1 −  −  = + n n n 和 n n n n 10 ( 1) 1 1   = + − 是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 绝对收敛的级数有以下性质： 1、级数的重排 定理 12.3.3 设级数 un 绝对收敛，且其和等于 S，则任意重排后所得到的级数也绝对收