《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系】 敛，且其和也不变。 注意：(1)由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛：即使收敛，也不一定收敛于 原来的和数。 (2)条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。 如：设-日1写甘名号.=A 则 含-w+这-w当 它正是第1个级数的重排。 2.级数的乘积 设有收敛级数 ∑4n=4+++4n+.=A (1) ∑yn=y+y2++vn+.=B。 (2) 它们每一项所有可能的乘积为： 4%424y3.4y. 444.4。. (3) . 定理12.3.4（柯西定理）若级数(1)、(2)都绝对收敛，则对(3)中所有乘积4，按 任意顺序排列所得到的级数∑W。也绝对收敛，且和等于AB。 例3、等比级数 irel 3 《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 3 敛，且其和也不变。 注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于 原来的和数。 （2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。 如：设 A n n n  − = − + − + − + − + =  = +  8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 ， 则 8 2 1 6 1 4 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n  − = − + − + =  = +  ， 而 n n n 1 ( 1) 1 1   = + − 2 3 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n +  − = + − + + − + =  = +  ， 它正是第 1 个级数的重排。 2．级数的乘积 设有收敛级数 un = u1 + u2 ++ un += A， （1） vn = v1 + v2 ++ vn += B 。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为： 1 1 u v 1 2 u v 1 3 u v . n u v1 . 2 1 u v 2 2 u v 2 3 u v . n u v2 . 3 1 u v 3 2 u v 3 3 u v . n u v3 . （3） . . . . . . 1 u vn 2 u vn 3 u vn . n n u v . . . . . . . 定理 12.3.4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积 i j u v 按 任意顺序排列所得到的级数 wn 也绝对收敛，且和等于 AB。 例 3、等比级数 1− r 1 =1+ r + r 2 ++ r n +， r  1