《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 是绝对收敛的，将∑”)按(15)的顺序排列。则得到 0-序1++r）++r2+r)++++p四+ 1个 =1+2r+3r2+.+(n+10r"+. 注：(3)中所有乘积4y,可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： y+43+42+“2y+山+++山3+4%+； 或对角线顺序： 4,y+4++y+++ 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设6，y,=1,2,m为两组实数，若令 0g=y+2+.+k,(k=1,2,.,m 则有下列求和公式成立： 25=(6-,g+低-6a,++6-8加+80 证明：直接计算可得。 推论（阿贝尔引理）若(1)81,62，.，6n单调数组： (2)对任一正整数k1≤k≤n)有o=出+y2+.+ysA,记 &=maxs},则有 空es38 证明：由阿贝尔引理即可得。 定理12.3.5（阿贝尔判别法）若{a,}为单调有界数列，且级数∑b,收敛，则级数 ∑anbn=a,h+ab2++anbn+. 收敛。《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 4 是绝对收敛的，将 2  ) n （ r 按（15）的顺序排列。则得到 2 (1 ) 1 − r =    + + + + + ++ ++ + +1个 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n r r r r r r r =1+ 2r + 3r 2 ++ (n +1)r n + . 注：（3）中所有乘积 i j u v 可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u2 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + ； 或对角线顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 +。 三、 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设 i  ， i v (i = 1,2,  ,n) 为两组实数，若令 k k = v + v ++ v  1 2 ， (k = 1,2,  ,n) 则有下列求和公式成立： i n n n n n n i i  v =  −   +  −   + +  − −   − +   =  1 2 1 2 3 2 1 1 1 ( ) ( )  ( ) 。 证明：直接计算可得。 推论（阿贝尔引理） 若（1） n  , , , 1 2  单调数组； （2）对任一正整数 k(1  k  n) 有  k = v1 + v2 ++ vk  A ，记 max{ }k k  =  ，则有 v A n k k k  3 1   = 。 证明：由阿贝尔引理即可得。 定理 12.3.5 （阿贝尔判别法）若 { }n a 为单调有界数列，且级数 bn 收敛，则级数 anbn = a1b1 + a2b2 ++ anbn + 收敛