赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 复旦力学谢锡麟 16年4月21日 1知识要素 11完备度量空间上的压缩映照定理 定理1.1(完备度量空间上的压缩映照定理).设映照 ∫(x):X3x→∫(x)∈X 满足压缩性 彐a∈0,1),有d(f(x),f(y)≤ad(x,y),x,y∈X, 现(X,d(,“)为完备的度量空间,则有 彐!x,∈X,满足f(x)=x,∈X. 证明采用构造型证明.任取x0∈X作x1:=f(xo),x2:=f(x1),……,xn+1:=f(xn),…,有 {xn}n∈NCX为基本点列研究估计式 d(an+l, n)=d(f(an+1), f(en))< ad(n, In-1) =ad(f(xn-1),f(xn-2)≤a2d(xrn-1,xn-2)≤ ≤ad(x1,ro), 即有d(xn+1,xn)≤a"d(x1,xo),Vn∈N 由此,估计 d(xn+p,xn)≤d(xn+p,xn+p-1)+…+d(xn+1,xn) +a+1)d(x1,xo)< 故可有{xn}cX为基本点列.由(X,d(…,)的完备性,有 X 由压缩性,可见∫(x)∈(X),故按映照极限的 Heine叙述,有 f(xn)→f(x,)∈X.赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 完备度量空间上的压缩映照定理 定理 1.1 (完备度量空间上的压缩映照定理). 设映照 f(x) : X ∋ x 7→ f(x) ∈ X 满足压缩性 ∃ α ∈ [0, 1), 有 d(f(x), f(y)) 6 αd(x, y), ∀ x, y ∈ X, 现 (X, d(·, ·)) 为完备的度量空间, 则有 ∃ ! x∗ ∈ X, 满足f(x∗) = x∗ ∈ X. 证明 采用构造型证明. 任取 x0 ∈ X 作 x1 := f(x0), x2 := f(x1), · · · , xn+1 := f(xn), · · · , 有 {xn}n∈N ⊂ X 为基本点列. 研究估计式 d(xn+1, xn) = d(f(xn+1), f(xn)) 6 αd(xn, xn−1) = αd(f(xn−1), f(xn−2)) 6 α 2 d(xn−1, xn−2) 6 · · · 6 α n d(x1, x0), 即有 d(xn+1, xn) 6 α nd(x1, x0), ∀ n ∈ N. 由此, 估计 d(xn+p, xn) 6 d(xn+p, xn+p−1) + · · · + d(xn+1, xn) 6 α n+p−1 d(x1, x0) + · · · + α n d(x1, x0) = α n (α p−1 + · · · + α + 1)d(x1, x0) < α n 1 − α d(x1, x0), 故可有 {xn} ⊂ X 为基本点列. 由 (X, d(·, ·)) 的完备性, 有 xn → x∗ ∈ X; 由压缩性, 可见 f(x) ∈ C (X), 故按映照极限的 Heine 叙述, 有 f(xn) → f(x∗) ∈ X. 1