赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 由于f(xn)=xn+1,故有f(x)=x*,亦即x0为不动点 最后证明不动点的唯一性.设彐x*,,∈X,满足f(2,)=2*,f(G,)=*考虑到压缩性,有 d(*,)=d(f(x),f(x)≤ad(x*,),a∈[0,1), 故仅可能,=∈X 对于压缩性条件,可以改写为彐r∈N,有 df"(x),f(y)≤ad(x,y),a∈[0,1) 此处∫(x)≡∫o…of(x),即作用r次.按上述证明,有 彐!x*∈X,满足∫(x,)=r* 则有f+1(x*)=f(f(x,)=f(x,),亦即f(x)也为f(x)的不动点.故有f(x)=x*,亦即 为f(x)的一个不动点 若假设另有,也为f(x,)的不动点,即有f(G,)=x,则有 f(G,)=f-1(x,)=2 即为∫(x)的不动点,根据压缩映照定理,有=x 1.2由压缩映照定理获得隐映照定理 定理1.2(隐映照定理),.设有映照∫(x,y) f(x,y): xxY> Dr X Dy3{x,y→f(x,y)∈2 满足 f(x,y)∈(Dx×D;Z); 2.3()ED2xD,使得{()=0∈z Df(x0,30)∈2(Y;Z)可逆 则 有 1.彐Bx(xo)cDx,B(9o)cDy,有Vx∈Bx(xo),3!y∈B4()满足f(x,yx)=0∈Z,由此 可作(x):BA(0)3x()∈满足!s(x)∈B1(m) r(xx)=0∈z; 2.(x)∈61(Bx(xo0);Y赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 由于 f(xn) = xn+1, 故有 f(x∗) = x∗, 亦即 x0 为不动点. 最后证明不动点的唯一性. 设 ∃ xe∗, xb∗ ∈ X, 满足 f(xe∗) = xe∗, f(xb∗) = xb∗. 考虑到压缩性, 有 d(xe∗, xb∗) = d(f(xe∗), f(xb∗)) 6 αd(xe∗, xb∗), α ∈ [0, 1), 故仅可能 xe∗ = xb∗ ∈ X. 对于压缩性条件, 可以改写为 ∃ r ∈ N, 有 d(f r (x), fr (y)) 6 αd(x, y), α ∈ [0, 1), 此处 f r (x) ≡ f ◦ · · · ◦ f | {z } r次 (x), 即作用 r 次. 按上述证明, 有 ∃ !x∗ ∈ X, 满足 f r (x∗) = x∗, 则有 f r+1(x∗) = f r (f(x∗)) = f(x∗), 亦即 f(x∗) 也为 f r (x∗) 的不动点. 故有 f(x∗) = x∗, 亦即 x∗ 为 f(x) 的一个不动点. 若假设另有 xe∗ 也为 f(x∗) 的不动点, 即有 f(xe∗) = xe∗, 则有 f r (xe∗) = f r−1 (xe∗) = xe∗, 即 xe∗ 为 f r (x) 的不动点, 根据压缩映照定理, 有 xe∗ = x∗. 1.2 由压缩映照定理获得隐映照定理 定理 1.2 (隐映照定理). 设有映照 f(x, y) f(x, y) : X × Y ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ f(x, y) ∈ Z 满足: 1. f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy;Z); 2. ∃ (x0, y0) ∈ Dx × Dy 使得    f(x, y) = 0 ∈ Z, Dyf(x0, y0) ∈ L (Y ;Z)可逆, 则有 1. ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0) ⊂ Dy, 有 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ !yx ∈ Bµ(y0) 满足 f(x, yx) = 0 ∈ Z, 由此 可作 ξ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ Y, 满足    ξ(x) ∈ Bµ(y0), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ Z; 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); Y ). 2