赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 证明(1)利用压缩映照定理证明隐映照定理,考虑作 2(y):B4(0)3y→(y)全y-(Df)-1(xo,3)f(x,y)∈Y, 可证对x∈Bx(x0),3!yz∈B(v),满足 f(x,y)=0∈Z,或者φ(yx)=ym∈Y, 此处B(x0)CDx,B2()cDy易见,对vx∈B(zo),f(x,y)=0∈Z在B2(o)上的解等价 于x(y)在B4(3)上的不动点 以下按完备度量空间中的压缩映照定理进行相关分析.估计 z(y)-yly=|or(y)-r(30)+(30)-y0y <or(y)-(yo)ly +lo(yo)-yol 按有限增量估计(此处x∈Bx(x0)为参数)则有 1(y)-q(o)y≤sup|Do(30+6(y-90)lz(y:)·ly-9 / y∈B4(9o) 考虑到 Do(y)=Iy-(Duf)-(zo, yo)Duf(a,), Vy E Bu(yo), IE BA(o), IDor(y)Lp(YY)=IIy-(Dyf)-(ao, yo)Dyf(a, y)lp(r: Y) I(Dyf)-1(o, yo).[(D, f)(co, yo)-Dy f(, y)2(r: Z) D)-(xo,3o)z(z3)(D)( 以及f(x,y)∈(D×Dy;2),则彐Bx(x0)cD=,B(0)cDy(A<入,<p,有 Da(y)x(y;y)<1-a,Vy∈Ba(3),r∈Bx(x0) 另估计 1Pr(yo)-yolr= lyo-(Duf)-(co, yo)f(, yo)-yoly (D3)-1(xo,3)·Uf(x,3)-f(xo,3o) ≤|(Df)-1(xo,)(zy)f(x,30)-f(xo,3)z 则彐Bx(x0)∈D2(A<),有1-(y)-oy<aj 综上,x∈B(xo),vy∈B(30),有 lor()-yoly <(1-a)ly-yoly +au ≤(1-a)+ 即Ⅴx∈B3(x0)有(y)∈Bn(y),Vy∈Ba(o)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 证明 (1) 利用压缩映照定理证明隐映照定理, 考虑作 ϕx(y) : Bµ(y0) ∋ y 7→ ϕx(y) , y − (Dyf) −1 (x0, y0)f(x, y) ∈ Y, 可证对 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ ! yx ∈ Bµ(y0), 满足 f(x, yx) = 0 ∈ Z, 或者ϕx(yx) = yx ∈ Y, 此处 Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0) ⊂ Dy. 易见, 对 ∀ x ∈ Bλ(x0), f(x, y) = 0 ∈ Z 在 Bµ(y0) 上的解等价 于 ϕx(y) 在 Bµ(y0) 上的不动点. 以下按完备度量空间中的压缩映照定理进行相关分析. 估计 |ϕx(y) − y0|Y = |ϕx(y) − ϕx(y0) + ϕx(y0) − y0|Y 6 |ϕx(y) − ϕx(y0)|Y + |ϕx(y0) − y0|Y , 按有限增量估计 (此处 x ∈ Bλ(x0) 为参数) 则有 |ϕx(y) − ϕx(y0)|Y 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx(y0 + θ(y − y0))|L (Y ;Y ) · |y − y0|Y ∀ y ∈ Bµ(y0). 考虑到 Dϕx(y) = IY − (Dyf) −1 (x0, y0)Dyf(x, y), ∀ y ∈ Bµ(y0), x ∈ Bλ(x0), |Dϕx(y)|L (Y ;Y ) = |IY − (Dyf) −1 (x0, y0)Dyf(x, y)|L (Y ;Y ) =  (Dyf) −1 (x0, y0) · [(Dyf)(x0, y0) − Dyf(x, y)]   L (Y ;Z) 6  (Dyf) −1 (x0, y0)   L (Z;Y ) · |(Dyf)(x0, y0) − Dyf(x, y)|L (Y ;Z) , 以及 f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy;Z), 则 ∃ Bλe(x0) ⊂ Dx, Bµe(y0) ⊂ Dy (λ < λ, e µ < µ e ), 有 |Dϕx(y)|L (Y ;Y ) < 1 − α, ∀ y ∈ Bµe(y0), x ∈ Bλe(x0). 另估计 |ϕx(y0) − y0|Y = |y0 − (Dyf) −1 (x0, y0)f(x, y0) − y0|Y =  (Dyf) −1 (x0, y0) · [f(x, y0) − f(x0, y0)]   Y 6 |(Dyf) −1 (x0, y0)|L (Z;Y ) |f(x, y0) − f(x0, y0)|Z, 则 ∃ Bλb(x0) ∈ Dx(λ <b λe), 有 |ϕx(y0) − y0|Y < αµe. 综上, ∀ x ∈ Bλb(x0), ∀ y ∈ Bµe(y0), 有 |ϕx(y) − y0|Y < (1 − α)|y − y0|Y + αµe 6 (1 − α)µe + αµe = µ, e 即 ∀ x ∈ Bλb(x0) 有 ϕx(y) ∈ Bµe(y0), ∀ y ∈ Bµe(y0). 3