赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 另可有估计 lP(y1)-pr(32)< sup Dpr(32+o(y1-y2)ls(r rly1-y2lr 92 Br(yo), 即,对vx∈Bx(x0,a(y)在B()上具有压缩性 综上,存在(y):B(9)3y→(y)∈Y,满足 or(y)∈Ba(0) q(y)为B(o)上的压缩映照 由于B(o)cY为完备的度量空间,因此按完备度量空间中的压缩映照定理,有 ∈Bx(x0),3!y∈B(y)满足qa(yz) 亦即,对vx∈B3(xo),3!y∈Ba(0),满足f(x,y)=0∈Z,由此可作 (x):B(x0)3x→5(x)∈Y 满足 (x)∈B(0) f(x,5(x))=0∈Z (2)以下证明(x)∈2(Bx;Y).先证连续性,考虑vr,x+△r∈Bx(xo),估计 (x+△x)-5(x)y=|x+△x(￡(x+△x)-oz((x) ≤|x+△x(￡(x+△x)-x+△r((x)y+x+△r(￡(x)-((x)y ≤sp|Dox+△x((x)+((x+△a)-(x)y0)K(x+△m)-(x)y +|x+△x((x)-((x)y6∈(0,1 <(1-a)(x+△x)-(x)y+|x+△x(5(x))-pr(￡(x)}y, 即有 (x+△x)-(x)y<-|(x+△r((x)-o((x)y o(a, y)=o(y)=y-(Dyf)-(ao, yo)f(a, y), VrE B(ro), y E B(yo) 则 Dro(a, y)=-(Dy f)-(r0, yo) Df(, y) D=o(x,y)(y3y)≤Mvx∈Bx(xo),y∈B(o) 由此得 x+△r(5(x)-((x)=|o(x+△x,5(x)-0(x,(x)y赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 另可有估计 |ϕx(y1) − ϕx(y2)| 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx(y2 + θ(y1 − y2))|L (Y ;Y ) |y1 − y2|Y < (1 − α)|y1 − y2|Y , ∀ y1, y2 ∈ Bµe(y0), 即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ϕx(y) 在 Bµe(y0) 上具有压缩性. 综上, 存在 ϕx(y) : Bµe(y0) ∋ y 7→ ϕx(y) ∈ Y, 满足    ϕx(y) ∈ Bµe(y0), ϕx(y)为Bµe(y0)上的压缩映照. 由于 Bµe(y0) ⊂ Y 为完备的度量空间, 因此按完备度量空间中的压缩映照定理, 有 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0) 满足ϕx(yx) = yx, 亦即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0), 满足f(x, yx) = 0 ∈ Z, 由此可作 ξ(x) : Bλb(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ Y, 满足    ξ(x) ∈ Bµe(y0), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ Z. (2) 以下证明 ξ(x) ∈ C 1 (Bλb; Y ). 先证连续性, 考虑 ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 估计 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y = |ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx(ξ(x))|Y 6 |ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx+∆x(ξ(x))|Y + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx+∆x (ξ(x) + θ(ξ(x + ∆x) − ξ(x)))|L (Y ;Y ) |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y θ ∈ (0, 1) < (1 − α)|ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y , 即有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y < 1 α |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y . 作 ϕ(x, y) , ϕx(y) = y − (Dyf) −1 (x0, y0)f(x, y), ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0), 则 Dxϕ(x, y) = −(Dyf) −1 (x0, y0) · Dxf(x, y), |Dxϕ(x, y)|L (Y ;Y ) 6 M, ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0). 由此得 |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y = |ϕ(x + ∆x, ξ(x)) − ϕ(x, ξ(x))|Y . 4