赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 引入 v(t)全(x+t△x,(x)∈Y,Ht∈0,1] 则Dv(t)=D2o(x+t△x,(x)x∈Y.故 (x+△x,5(x)-叭(x,5(x)y=|v(1)-v(0)y≤sup|Dv(6)y 6∈(0,1) sup|Dro(x+6△x,5(x)·△xly e∈(0.1) Do(x+6△x,(x)lx(xy)△rly △x|x 综上,有 (x+△)-5(x)y<Arlx,vx,x+△∈Bx(xo) 即得￡(x)在Bx(x)上的连续性 (3)以下考虑￡(x)在B(xo)上的可微性.已有 f(x+△x,y+△y)=f(x,y)+pDf(x,y),D2fxw/4) +0(|)∈Z △x 由 =0∈Z,此处 会△m+1△,可得 Ax→0∈X×Y|/△x Ay/Ix <V△+1△9≤c(4rx+14△y) 故有 f(x+△x,y+4y)-f(,y)-Df(x,y)△r-Dyf(,y)△z<=V4r+14△ <E(△r|x+|△yy) 对vx∈Bx(x0),取y=5(x)∈Ba()则△y=f(x+△x)-(x),在△rx和|△yy很小时 将有 f(x+△x,5(x+△x)-f(x,5(x)-Dxf(x,5(x)△x-Dyf(x,(x)((x+△x) ()<(△x+kK+△x)-(a))<=(1+2)△k 即有 D(c(a)△x+D(s()(a+△n)-()lz<(1+2)△nx赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 引入 ψ(t) , ϕ(x + t∆x, ξ(x)) ∈ Y, ∀ t ∈ [0, 1], 则 Dψ(t) = Dxϕ(x + t∆x, ξ(x))∆x ∈ Y . 故 |ϕ(x + ∆x, ξ(x)) − ϕ(x, ξ(x))|Y = |ψ(1) − ψ(0)|Y 6 sup θ∈(0,1) |Dψ(θ)|Y = sup θ∈(0,1) |Dxϕ(x + θ∆x, ξ(x)) · ∆x|Y 6 |Dxϕ(x + θ∆x, ξ(x))|L (X;Y ) |∆x|Y 6 M|∆x|X. 综上, 有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y < M α |∆x|X, ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 即得 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的连续性. (3) 以下考虑 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的可微性. 已有 f(x + ∆x, y + ∆y) = f(x, y) + [Dxf(x, y), Dyf(x, y)] ( ∆x ∆y ) + o( ( ∆x ∆y ) ) ∈ Z. 由 [ lim ∆x ∆y ] →0∈X×Y o( ( ∆x ∆y ) )      ( ∆x ∆y )     X×Y = 0 ∈ Z, 此处      ( ∆x ∆y )     X×Y , √ |∆x| 2 X + |∆y| 2 Y , 可得      o( ( ∆x ∆y ) )      Z < ε√ |∆x| 2 X + |∆y| 2 Y 6 ε(|∆x|X + |∆y|Y ), 故有 |f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) − Dxf(x, y)∆x − Dyf(x, y)∆y|Z < ε√ |∆x| 2 X + |∆y| 2 Y < ε(|∆x|X + |∆y|Y ). 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), 取 y = ξ(x) ∈ Bµe(y0), 则 ∆y = ξ(x + ∆x) − ξ(x), 在 |∆x|X 和 |∆y|Y 很小时, 将有 |f(x + ∆x, ξ(x + ∆x)) − f(x, ξ(x)) − Dxf(x, ξ(x))∆x − Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Z < ε (|∆x|X + |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y ) < ε ( 1 + M α ) |∆x|X, 即有 |Dxf(x, ξ(x))∆x + Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Z < ε ( 1 + M α ) |∆x|X. 5