范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以有 Df(x,(x)·(Df-(x,(x)D-f(x,(x)△x+f(x+△n)-f(x)z <e1+ 注:由于Dyf(xo,)∈x(X;Y)可逆,则一开始便可取Bx(xo),B1(30),使得对vx∈Bx(xo),y∈ B4(3),Df(x,y)∈(X;Y)可逆.估计 D)-1(x,(x)Dnf(x,(x)△x+(x+4)-(x)}y =|(Df)-(x,(x)·{Df(x,(x)·[(Df)-(x,(x)Daf(x,5(x)△x +(x+△)-(x)}y ≤|Df(x,(x)·【Df)-(x,()Dnf(x,()△r+(x+△r)-f(]l (Dy 5)(z, 5(a))e(z: Y) ≤DD()(+)k 即有 △kK(x+△n)-(m)+(Dn)(a.(),Df(x.(),△rly <(Dn)(a,s(a)2((1+ 即有 (x+△x)=5(x)-(Df)-(x,5(x)·Drf(xr,(x)△x+o(△x|x)∈Y 亦即5(x)在Bx(xo)上可微,且 D(x)=-(Df)-(x,5(x)·Df(x,(x),x∈B(ro) 即有∈(Bx(x)Y 1.3由压缩映照定理获得逆映照定理 定理13(逆映照定理).有f(x)∈岩(D;X),彐xo∈D,满足Df(xo)∈x(X;X)可逆,则 局部存在61-微分同胚.亦即彐Bx(x0)cDx,满足 f(a)E8(B(co); f(BA(co))) 证明直接利用有界闭集上的压缩映照定理,首先作B0(xo)cDx,Bl0(3)cX以及辅助 v(x):Bx0(xo)3x→vy(x)=x+(Df)-1(xo)(y-f(x)∈X,Vy∈B(vo) 如果对Vy∈B(o),彐ry∈Bxo(xo),满足 vy(xy)=xy或者y=f(xy)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以有  Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]   Z < ε ( 1 + M α ) |∆x|X. 注: 由于 Dyf(x0, y0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 则一开始便可取 Bλ(x0), Bµ(y0), 使得对 ∀ x ∈ Bλ(x0), y ∈ Bµ(y0),Dyf(x, y) ∈ L (X; Y ) 可逆. 估计  (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆) − ξ(x)   Y =  (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · { Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]}  Y 6  Dyf(x, ξ(x)) · [ (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x) ]  Z ·  (Dyf) −1 (x, ξ(x))   L (Z;Y ) 6  (Dyf) −1 (x, ξ(x))   L (Z;Y ) ( 1 + M α ) ε|∆x|X, 即有 1 |∆x|X  ξ(x + ∆x) − ξ(x) + (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)) · ∆x   Y <  (Dyf) −1 (x, ξ(x))   L (Z;Y ) ( 1 + M α ) ε, 即有 ξ(x + ∆x) = ξ(x) − (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x))∆x + o(|∆x|X) ∈ Y, 亦即 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上可微, 且 Dξ(x) = −(Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)), ∀ x ∈ Bλb(x0), 即有 ξ ∈ C 1 (Bλb(x0); Y ). 1.3 由压缩映照定理获得逆映照定理 定理 1.3 (逆映照定理). 有 f(x) ∈ C 1 (Dx; X), ∃ x0 ∈ Dx, 满足Df(x0) ∈ L (X; X) 可逆, 则 局部存在 C 1 -微分同胚. 亦即 ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, 满足 f(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); f(Bλ(x0))). 证明 直接利用有界闭集上的压缩映照定理, 首先作 Bλ0 (x0) ⊂ Dx , Bµ0 (y0) ⊂ X 以及辅助 映照 ψy(x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ X, ∀ y ∈ Bµ0 (y0). 如果对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0), ∃ xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 ψy(xy) = xy 或者 y = f(xy), 6