赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 如果上述不动点唯一存在,则可作 n(y)∈x, 满足 7(y)∈Bx0(x0) y=f(n(y),Vy∈B(30), 藉此作 U{x∈Bx(ro)f(x)∈B0()} 现假设已证不动点唯一存在,则有 1.U为开集.考虑到∫(x)在BA(xo)上的连续性,故对:x∈U,VE>0,三6>0,成立: f(B2(x)CBe(f(x)CB0(9),即有B2(x)cU 2.f(x)在U上为单射.利用反证法,设 f(x1)=∫(x2)∈B(90) 记y=f(x1)=f(x2)则按上述求解的唯一性,彐!xy∈B0(xo),满足y=f(xy),而有 x1=x2=x,同假设矛盾 f(U)=Bu(30).显然f(U)cB(0).考虑vy∈B1(),则彐!ry∈B0(xo).满足 f(xy)=y∈B10(30).由此有Bn(o)cf(U) 综上,f(x)实现B10(x)U同f(U)=B10(3)之间的双射,故存在逆映照 又由对vy∈B1(90)有y=f(n(y),所以对vy∈B1(y0)有f-1(y)=f- o fon(y)=n(y) 因此有 f(y=n(u), Vy E Bu(yo) 故以下对vy∈B0(o),在BA0(xo)中寻找xy满足y=f(xy) 考虑 a'y(a): B\o(ao)9 Hvy(a)=a+(Df)-(ao)(y-f(rD)EX, 易见,存在上述xy∈B(ro),使得vy(xy)=xy即为不动点 第一步,估计 lvy(a)-colx=lvy(a)-vyoro)Ix=l(y, c)-v(yo, co)lx <l(y, r)-p(yo, r)lx +l/(yo, r)-(yo, ro)Ix ≤sup、|Dv(9o+2(y-9),x)(x)·ly-9olx Dx(30,赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 如果上述不动点唯一存在, 则可作 η(y) : Bµ0 (y0) ∋ y 7→ η(y) ∈ X, 满足    η(y) ∈ Bλ0 (x0), y = f(η(y)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), 藉此作 U , {x ∈ Bλ0 (x0)|f(x) ∈ Bµ0 (y0)} . 现假设已证不动点唯一存在, 则有 1. U 为开集. 考虑到 f(x) 在 Bλ0 (x0) 上的连续性, 故对: x ∈ U, ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立: f(Bδε (x)) ⊂ Bε(f(x)) ⊂ Bµ0 (y0), 即有 Bδε (x) ⊂ U. 2. f(x) 在 U 上为单射. 利用反证法, 设    x1, x2 ∈ U , x1 ̸= x2, f(x1) = f(x2) ∈ Bµ(y0). 记 y = f(x1) = f(x2) 则按上述求解的唯一性, ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 y = f(xy), 而有 x1 = x2 = xy, 同假设矛盾. 3. f(U) = Bµ0 (y0). 显然 f(U) ⊂ Bµ0 (y0). 考虑 ∀ y ∈ Bµ(y0), 则 ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0). 满足 f(xy) = y ∈ Bµ0 (y0). 由此有 Bµ(y0) ⊂ f(U). 综上, f(x) 实现 Bµ0 (x0) ⊃ U 同 f(U) = Bµ0 (y0) 之间的双射, 故存在逆映照. 又由对 ∀ y ∈ Bµ(y0) 有 y = f(η(y)), 所以对 ∀ y ∈ Bµ(y0) 有 f −1 (y) = f −1 ◦ f ◦ η(y) = η(y). 因此有 f −1 (y) = η(y), ∀ y ∈ Bµ(y0). 故以下对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0), 在 Bλ0 (x0) 中寻找 xy 满足 y = f(xy). 考虑 ψy(x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ X, 易见, 存在上述 xy ∈ Bλ0 (x0), 使得 ψy(xy) = xy 即为不动点. 第一步, 估计 |ψy(x) − x0|X = |ψy(x) − ψy0 (x0)|X = |ψ(y, x) − ψ(y0, x0)|X 6 |ψ(y, x) − ψ(y0, x)|X + |ψ(y0, x) − ψ(y0, x0)|X 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y0 + θ2(y − y0), x)|L (X;X) · |y − y0|X + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y0, x0 + θ1(x − x0))|L (X;X) · |x − x0|X , 7