赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 此处 w(y, a)=vy()=r+(Df)-(ro)(y-f()), Vy E BHo(yo), a E Bo(ro) Dy(y,x)=(Df)-1(x0), D2v(v,x)=Ix-(Df)-1(xo)Df(x)=(Df)-1(xo)·[Df(xo)-Df(x)] 故 ly(=)-colx <I(Df)(co)ls(xx) ly-yolx +I(Df)-()le(x: x).Df(ao)-Df(a)le(x: x) lz--olx 考虑到f(x)∈61(D;Rm),故可缩小A到A1,使得 I(Df)-(ole(: x). IDf(o)-Df()ls(x: x)<2 再缩小p0到p1,使得 (Dn(0)x1-列lx<2 综上,有 Ivy(a)-colx< A+5-xx<A,Wx∈Bx1(zo) 即有vy∈B(0),有vy(BA1(xo)CBx1(xo)cBx1(xo) 第二步,估计压缩性,即 Ivy(a1)-vy(a2)x=l/(9, 1)-v(y, 22)Ix ≤sup、|Dv(y,x1+1(x2-x)2(x:x)·|x1-xlx 61∈(0,1) 综上有:y(x)为BA1(xo)上的压缩映照,此处Ⅴy∈Bn1(0).故彐!xy∈Bhx(xo),满足 vy(xy)=xy∈B1(xo) 故可作 n(y): Bu(yo)3yH)n(y)=yEX, 满足 7(y)∈Ba1(3o) y=fon(y),Vy∈Bn1(o)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 此处    ψ(y, x) , ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), x ∈ Bλ0 (x0), Dyψ(y, x) = (Df) −1 (x0), Dxψ(y, x) = IX − (Df) −1 (x0)Df(x) = (Df) −1 (x0) · [Df(x0) − Df(x)], 故 |ψy(x) − x0|X 6  (Df) −1 (x0)   L (X;X) |y − y0|X +  (Df) −1 (x0)   L (X;X) · |Df(x0) − Df(x)|L (X;X) · |x − x0|X . 考虑到 f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 故可缩小 λ0 到 λ1, 使得  (Df) −1 (x0)   L (X;X) · |Df(x0) − Df(x)|L (X;X) < 1 2 . 再缩小 µ0 到 µ1, 使得  (Df) −1 (x0)   L (X;X) · |y − y0|X < 1 2 λ1. 综上, 有 |ψy(x) − x0|X < 1 2 λ1 + 1 2 |x − x0|X < λ1, ∀ x ∈ Bλ1 (x0), y ∈ Bµ1 (y0), 即有 ∀ y ∈ Bµ(y0), 有 ψy(Bλ1 (x0)) ⊂ Bλ1 (x0) ⊂ Bλ1 (x0). 第二步, 估计压缩性, 即 |ψy(x1) − ψy(x2)|X = |ψ(y, x1) − ψ(y, x2)|X 6 sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, x1 + θ1(x2 − x1))|L (X;X) · |x1 − x2|X . < 1 2 |x1 − x2|X . 综上有: ψy(x) 为 Bλ1 (x0) 上的压缩映照, 此处 ∀ y ∈ Bµ1 (y0). 故 ∃ ! xy ∈ Bλ1 (x0), 满足 ψy(xy) = xy ∈ Bλ1 (x0). 故可作 η(y) : Bµ1 (y0) ∋ y 7→ η(y) = xy ∈ X, 满足    η(y) ∈ Bµ1 (y0), y = f ◦ η(y), ∀ y ∈ Bµ1 (y0). 8