赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 以下证η(y)的连续性,即n(y)∈C(B2(o);x).估计 n(y+△y)-n(y)x=|vy+△y(m(y+△y)-vy((y)x (3+△y,m(y+△y)-v(3,n(y)lx ≤p(y+△y,m(y+△y))-v(y,n(y+△y)lx+|v(y,n(y+△y)-v(3,n(y)x ≤sup、|Dvy+02△y,m(y+△y)(x:x)△ylx sup Dx (y, n(y)+B1(n(y+ Ay)-n(y)))le(x: x)Im(y Ay)-n()lx 61∈(0,1) (D)-(ao)2(x△yx+2(y+△y)-m(y)kx 即有 my+△y)-m()kx<2(Df)-1(xo)lzxx)1△ylx 所以 以下证 n(y)∈(B1(0)X) 考虑 f(x)∈6(D2 故有 f(x+△x)-f(x)=Df(x)·△x+o(△xlx),Vx∈Dx 现取 T=n(y),Vy∈B0(3o), △x=m(y+△y)-(y) 则 x=fon(y+△y)-fom(y) △ △y=Df(x)·(n(y+△y)-m(y)+o(m(y+△y)-m(y)x) 此处要求 3(Df)-1(x)∈x(x;X),Vx∈Bx1(xo) 由于彐Df(xo)∈x(X;x)可逆,故在选定B0(x)时,就可使得对Ⅴx∈B0(xo),都有 彐(Df)-1(x)由于 my+△y)-m(y)x<2|(Df-1(xo)l(xx)|4列赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 以下证 η(y) 的连续性, 即 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0); X). 估计 |η(y + ∆y) − η(y)|X = |ψy+∆y(η(y + ∆y)) − ψy(η(y))|X = |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|X 6 |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y + ∆y))|X + |ψ(y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|X 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y + θ2∆y, η(y + ∆y))|L (X;X) |∆y|X + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, η(y) + θ1(η(y + ∆y) − η(y)))|L (X;X) |η(y + ∆y) − η(y)|X <  (Df) −1 (x0)   L (X;X) |∆y|X + 1 2 |η(y + ∆y) − η(y)|X , 即有 |η(y + ∆y) − η(y)|X < 2  (Df) −1 (x0)   L (X;X) |∆y|X , 所以 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0); X). 以下证 η(y) ∈ C 1 (Bµ1 (y0); X), 考虑 f(x) ∈ C 1 (Dx; X), 故有 f(x + ∆x) − f(x) = Df(x) · ∆x + o(|∆x|X), ∀ x ∈ Dx. 现取    x = η(y), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), ∆x = η(y + ∆y) − η(y), 则 ∆x = f ◦ η(y + ∆y) − f ◦ η(y) = y + ∆y − y = ∆y, ∆y = Df(x) · (η(y + ∆y) − η(y)) + o(|η(y + ∆y) − η(y)|X). 此处要求: ∃ (Df) −1 (x) ∈ L (X; X), ∀ x ∈ Bλ1 (x0). 由于 ∃ Df(x0) ∈ L (X; X) 可逆, 故在选定 Bµ0 (x0) 时, 就可使得对 ∀ x ∈ Bµ0 (x0), 都有 ∃ (Df) −1 (x). 由于 |η(y + ∆y) − η(y)|X < 2  (Df) −1 (x0)   L (X;X) |∆y|X , 9