赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 所以 lo(m(y+△y)-m(y)lx)x_lo((y+△y)-m(y)x)x,(y+△y)-m)x n(y+△y)-m(y)l xlmy+△y)-mxx.2(D1(o)(x)→0 (y+△y)-m(y) 由于n(y)为Bx1(30)上单射,故在△y≠0∈X时,n(y+△y)-m(y)∈X满足非接触性条件 综上,有 n(y+△y)-m(y)=(Df)-1(x)△y+o(△y),x=f-1(y). 1.4由隐映照定理获得逆映照定理 定理1.4(逆映照定理/微分同胚局部存在性定理).设有映照 f(x):XDx3x→f(x)∈Y 满足 1.f(x)∈8(Dx;Y), 2.3x0∈Dx使得Df(xo)∈x(X;Y)可逆, 则有 1.彐U(x0)cD,V(f(xo)c∫(Dn),使得f(x)在U(xo)和v(f(xo))上为双射,即彐f-1(y) 满足 f(y: V(f(o)2yHf(EDr 2.f-1(y)∈(v(f(x0);X) 上面的两个结论说明:f(x)在x0∈D附近实现幻微分同胚 证明利用隐映照定理,作 F(y,x):Y×D3{y,x}→F(y,x)2y-f(x)∈Y, 由f(x)∈61(D;Y),有F(y,x)∈6(×Dx;Y).由于Df(xo)∈x(X;Y)可逆,有 D2F(0,00)=-Df(xo)∈x(X;Y)可逆, 0:=f(xo)∈Y.按隐映照定理,彐B(o)cY,B(ro)cDx,满足 vy∈B(o),!ry∈Bx(xo)满足F(y,ry)=0∈Y 由此可作m(y):B(30)3y+m(y)∈X,满足 7(y)∈Bx(xo);F(y,n(y)=0∈Y, ()∈2(B();x) 作U{x∈BA(xo0)f(x)∈B()}cBx(xo)赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以 |o(|η(y + ∆y) − η(y)|X)|X |∆y|X = |o(|η(y + ∆y) − η(y)|X)|X |η(y + ∆y) − η(y)|X · |η(y + ∆y) − η(y)|X |∆y|X < |o(|η(y + ∆y) − η(y)|X)|X |η(y + ∆y) − η(y)|X · 2  (Df) −1 (x0)   L (X;X) → 0 (∆y → 0). 由于 η(y) 为 Bλ1 (y0) 上单射, 故在 ∆y ̸= 0 ∈ X 时,η(y + ∆y) − η(y) ∈ X 满足非接触性条件. 综上, 有 η(y + ∆y) − η(y) = (Df) −1 (x)∆y + o(∆y), x = f −1 (y). 1.4 由隐映照定理获得逆映照定理 定理 1.4 (逆映照定理/微分同胚局部存在性定理). 设有映照 f(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ Y 满足: 1. f(x) ∈ C 1 (Dx; Y ), 2. ∃ x0 ∈ Dx 使得 Df(x0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 则有 1. ∃U(x0) ⊂ Dx, V (f(x0)) ⊂ f(Dx), 使得 f(x) 在 U(x0) 和 V (f(x0)) 上为双射, 即 ∃ f −1 (y) 满足: f −1 (y) : V (f(x0)) ∋ y 7→ f −1 (y) ∈ Dx; 2. f −1 (y) ∈ C 1 (V (f(x0)); X). 上面的两个结论说明:f(x) 在 x0 ∈ Dx 附近实现 C 1 微分同胚. 证明 利用隐映照定理, 作 F(y, x) : Y × Dx ∋ {y, x} 7→ F(y, x) , y − f(x) ∈ Y, 由 f(x) ∈ C 1 (Dx; Y ), 有 F(y, x) ∈ C 1 (Y × Dx; Y ). 由于 Df(x0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 有 DxF(y0, x0) = −Df(x0) ∈ L (X; Y )可逆, 此处 y0 := f(x0) ∈ Y . 按隐映照定理, ∃ Bµ(y0) ⊂ Y, Bλ(x0) ⊂ Dx, 满足 ∀ y ∈ Bµ(y0), ∃ ! xy ∈ Bλ(x0) 满足F(y, xy) = 0 ∈ Y. 由此可作 η(y) : Bµ(y0) ∋ y 7→ η(y) ∈ X, 满足    η(y) ∈ Bλ(x0); F(y, η(y)) = 0 ∈ Y, η(y) ∈ C 1 (Bµ(y0); X). 作 U , {x ∈ Bλ(x0)|f(x) ∈ Bµ(y0)} ⊂ Bλ(x0). 10