从而1im 7.证明:若a0=a>0,an=(an1+-),n=1,2…则数列{an}收敛,并求其 极限。 证明:由于几何平均数不超过算术平均数 Ⅶn∈N,有an=(a ≥|a 即a2≥2从而an有下界。 又因为an1-an ≤0 则an1≤an,即an单调下降 于是an有极限。 设 lim a=b,由a 令n→,则b=2 解得b=±2 但是a>0,由极限的保序性知b>0,故b=√2 从而 lim a=2从而 lim ! n n n e → n = □ 7．证明：若 0 a a =  0 ， 1 1 1 2 ( ) 2 n n n a a a − − = + , n =1, 2, ,则数列 { }n a 收敛，并求其 极限。 证明：由于几何平均数不超过算术平均数  n N , 有 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 2 2 n n n n n a a a a a − − − − = +   = 即 2 2 n a  从而 n a 有下界。 又因为 2 1 1 2 2 ( ) 0 2 2 n n n n n n n a a a a a a a + − − = + − =  则 n n 1 a a +  ，即 n a 单调下降。 于是 n a 有极限。 设 lim n n a b → = ，由 1 1 1 2 ( ) 2 n n n a a a − − = + 令 n → ，则 1 2 ( ) 2 b b b = + 解得 b =  2 但是 0 n a  ，由极限的保序性知 b  0 ，故 b = 2 从而 lim 2 n n a → = □