所求平面的方程为 3(x-3)+40y+2)+(x-0)=0,即3x+4y+2-1=0.(2分) 2.已知=(x+simy,求9(8分 解设v=x+siny,=xy,则z=.(2分) az a Ou az av ovar vu-.1+u"hnuy(4 分) ax =xyx+sin y )-+y(x+sin yIn(x+sin y).(2 s) 3.设函数=(x,y)方程(+)lnye-1=0确定求在(1,1,0)处的值(8分) 解设F=(2+1)nye-1.(2分) 因为在(1,1,0)处 F=三u0=1,.=(hy+x和o=1,(4分) 所以在(1,1,0)处 yF=1=-1.(2分) 4.求曲面=x2+y2平行于平面x+y-2=0的切平面方程(8分 解曲面=x2+y2上点(x,y,2)处的法向量为n=(2x,2y,-1).(2分) 令(2x,2y,-1)=(1,1,-2,得=1.(2分) 当A=1时,x=1 (2分) 所求切平面的方程为 (x-)+(y-)-2(x-)=0,即x+y-2z-1=0.(2分) 5.求函数fx,y)=e2(x+y2+2y)的极值(10分) 解令 ∥1=e2(2x+)+22(2+2y)=0 (2分) 得驻点(,-1).(2分) fx=e2(4x+3),后=4e2x(y+1),n=2e2(2分) 在驻点处fx=5e,=0,y=2e 第三页第三页 所求平面的方程为 3(x−3)+4(y+2)+(z−0)=0 即 3x+4y+z−1=0 (2 分) 2．已知 z=(x+sin y) xy  求 x z   (8 分) 解 设 u=x+sin y v=xy 则 z=u v  (2 分) v u u u y x v v z x u u z x z v v =  +      +     =   − 1 ln 1 (4 分) ( sin ) ( sin ) ln( sin ) 1 xy x y y x y x y xy xy = + + + + −  (2 分) 3 设函数 z=z(x y)由方程(z+1)ln y+e xz−1=0 确定 求 y z   在(1 1 0)处的值(8 分) 解 设 F=(z+1)ln y+e xz−1 (2 分) 因为在(1 1 0)处 1 1 (1,1,0)= + = y z Fy  =(ln + )(1,1,0) =1 xz z F y xe  (4 分) 所以在(1 1 0)处 1 1 1 =− =− =−   z y F F y z  (2 分) 4 求曲面 z=x 2+y 2 平行于平面 x+y−2z=0 的切平面方程(8 分) 解 曲面 z=x 2+y 2 上点(x y z)处的法向量为 n=(2x 2y −1) (2 分) 令(2x 2y −1)=(1 1 −2) 得 2 1  =  (2 分) 当 2 1  = 时 4 1 x =  4 1 y =  8 1 z = (2 分) 所求切平面的方程为 ) 0 8 1 ) 2( 4 1 ) ( 4 1 (x− + y− − z− =  即 0 4 1 x+ y−2z− =  (2 分) 5 求函数 f(x y)=e 2x (x+y 2+2y)的极值(10 分) 解 令    = + = = + + + = 2 ( 1) 0 (2 1) 2 ( 2 ) 0 2 2 2 2 f e y f e x e y y x y x x x  (2 分) 得驻点 , 1) 2 1 ( −  (2 分) fxx=e 2x (4x+3) fxy=4e 2x (y+1) fyy=2e 2x  (2 分) 在驻点处 fxx=5e fxy=0 fyy=2e