银川能源学院《高签数学》救案 第六章空间解析几何 i j k axb=as ay a.=ayb-ita-bx j+axb k-aybxk-axb:j-a-bi bs by b. ay b:-a:by)i+(a:bx-ax b)j+(ax by-ay bx)k.. 例1设a=(2,1,-1),b=(1,-1,2),计算a×b. 解 a- =2i-j-2k-k-4j-i=i-5ji-3k. 例2已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7), 求三角形ABC的面积， 解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积 Sac=Clsin∠A=引ABx ACI. 由于AB=(2,2,2),AC=(1,2,4),因此 ABXAC=222=4i-6+2k. 124 于是 Sc=4i-6j+2k5F4-6P+2=i4. 例3设刚体以等角速度o绕1轴旋转，计算刚体上一点M的线速度. 解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在1轴上的一个向量表示角速度， 它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住1轴，当 右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大姆指的指向就是o的方 向 设点M到旋转轴1的距离为a,再在1轴上任取一点O作向量r=OM,并 以0表示w与r的夹角，那么 a=r sine. 设线速度为y,那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知，y的大小为 vl =@la =a rl sine; v的方向垂直于通过M点与1轴的平面，即v垂直于o与r,又v的指向是使o r、v符合右手规则.因此有 v=oxr. 二、向量的混合积 定义：三个向量a,b,c的，定义a,b,c的混合积是a(b×c),记为(a,b,c)。 三个向量a,b,c的混合积有(a,b,c,(a,c,b),(b,a,c,(b,c,a,(c,a,b),(c,b,a。 混合积的性质： (1)a,b,c中有一个零向量的话，a.(b×c=0 第11页银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 11 页 x y z x y z b b b a a a i j k ab aybziazbx jaxbykaybxkaxbz jazbyi  ( ay bz  az by) i  ( az bx  ax bz) j  ( ax by  ay bx) k  例 1 设 a(2 1 1) b(1 1 2) 计算 ab  解 1 1 2 2 1 1     i j k a b 2ij2kk4ji i5j 3k 例 2 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1 2 3)、B (3 4 5)、C (2 4 7) 求三角形 ABC 的面积 解 根据向量积的定义 可知三角形 ABC 的面积     | | 2 1 | || |sin 2 1 SABC  AB AC A ABAC  由于  AB (2 2 2)  AC (1 2 4)因此   1 2 4 2 2 2 i j k ABAC 4i6j2k 于是 4 ( 6) 2 14 2 1 |4 6 2 | 2 1 2 2 2 SABC  i j k       例 3 设刚体以等角速度  绕 l 轴旋转 计算刚体上一点 M 的线速度 解 刚体绕 l 轴旋转时 我们可以用在 l 轴上的一个向量表示角速度 它的大小等于角速度的大小 它的方向由右手规则定出 即以右手握住 l 轴 当 右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时 大姆指的指向就是的方 向 设点 M 到旋转轴 l 的距离为 a  再在 l 轴上任取一点 O 作向量 r  OM  并 以  表示与 r 的夹角 那么 a  |r| sin  设线速度为 v 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知 v 的大小为 |v| | |a  || |r| sin ; v 的方向垂直于通过 M 点与 l 轴的平面 即 v 垂直于与 r 又 v 的指向是使、 r、v 符合右手规则 因此有 v r 二、向量的混合积 定义： 三个向量 a,b, c 的，定义 a,b, c 的混合积是 a bc ，记为 abc , , 。 三个向量 a,b, c 的混合积有 a,b,c,a,c,b,b,a,c,b,c,a,c,a,b,c,b,a。 混合积的性质： （1） a,b, c 中有一个零向量的话，a bc  0 ；