银川能源学院《高签激学》救未 第六章空间解析几何 第二节向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所 产生的力矩 引例：设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处.F 与oP的夹角为8 由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M,它的模 IMHOPIIFIsin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从OP以 不超过π的角转向F来确定的 向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出： (1)c的模lc=ablsin0,其中0为a与b间的夹角； (2)c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向 b来确定， 那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作xb,即 c=axb 根据向量积的定义，力矩M等于OP与F的向量积，即 M=OPxF. 向量积的性质： (1)axa=0; (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则al/b;反之，如果a/b,则xb= 0. 如果认为零向量与任何向量都平行，则alb一xb=0. 数量积的运算律 (I)反交换律：axb=-b×c (2)分配律：(a+b)xc=axc+bxc. (3)结合律：(a)xb=ax0.b)=(axb)(为数). 数量积的坐标表示：设a-axi+aj+ak,b-bri+bj+bk.按向量积的 运算规律可得 axb=(axi+ayj+a:k)x (bxi+byj+bzk) ax bx ixi+ax by ixj ax b=ixk +ay bx jxi+ay by jxj+ay b-jxk +a:bx kxi+a:by kxj+a:b:kxk 由于ixi=ji=kxk=0,ix对i=k,jxk=i,kxi=j,所以 axb=(ay b:-a=by)i+(a:bx-ax b=)j+ax by-ay bx)k. 为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成 第10页银川能源学院《高等数学》教案 第六章 空间解析几何 第 10 页 第二节 向量的向量积 一、两向量的向量积 在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所 产生的力矩 引例：设 O 为一根杠杆 L 的支点有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 F 与  OP 的夹角为   由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模  | | | || |sin M  OP F  而 M 的方向垂直于  OP 与 F 所决定的平面 M 的指向是的按右手规则从  OP 以 不超过  的角转向 F 来确定的 向量积 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 （1） c 的模 |c||a||b|sin   其中  为 a 与 b 间的夹角; （2）c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积 记作 ab 即 c ab 根据向量积的定义 力矩 M 等于  OP 与 F 的向量积即  M OPF  向量积的性质 (1) aa 0  (2) 对于两个非零向量 a、b 如果 ab 0 则 a//b反之 如果 a//b 则 ab 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则 a//b ab 0 数量积的运算律 (1) 反交换律：ab ba (2) 分配律 (ab)c ac bc (3) 结合律：(a)b a(b)  (ab) ( 为数) 数量积的坐标表示 设 a ax i  ay j  az kb bx i  by j  bz k 按向量积的 运算规律可得 ab ( ax i  ay j  az k)  ( bx i  by j  bz k)  ax bx ii  ax by ij  ax bz ik ay bx ji  ay by jj  ay bz jk az bx ki  az by kj  az bz kk 由于 ii jj kk 0ij kjk iki j 所以 ab ( ay bz  az by) i  ( az bx  ax bz) j  ( ax by  ay bx) k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成