第1章 实数和数列极限 粗略地说，数学由三个大的分支一几何学、代数学和分析学组成.它们有着 各自的研究对象、内容和方法，同时又互相依赖和渗透.分析学是从“微积分”开始 的.虽然在古代已经产生了微积分的朴素的思想，但是作为一门学科，微积分则建 立于17世纪下半叶.在这一方面，英国、法国和德国的数学家们作出了杰出的贡 献.创立微积分的大师们着眼于发展强有力的方法，他们虽然解决了许多过去被认 为是无法攻克的难题，却未能为自己的方法奠定无懈可击的理论基础.这就引起了 长达一个多世纪的混乱和争论，直到19世纪初才玉宇澄清，一切混乱、误解的阴霾 才为之一扫.这主要是由于有了严格的极限理论，以及这一理论所依赖的“实数体 系的连续性”得以确定 本书书名为《数学分析教程》，正是研究微积分学的原理和应用，因此我们得从 实数理论和数列的极限理论谈起， 1.1实 数 在中学里，大家已经学习过有理数，任何有理数都可以表示为两个整数 之商： r=卫 式中p,9都是整数，且9≠0.大家还知道：有理数经过加、减、乘、除（除数不能 是0)四则运算之后仍为有理数.据此，称全体有理数组成一个数域.就是说，仅仅 通过四则运算，我们不可能从有理数得到别的东西 。1