数学分析教程。，·· 那么有理数是如何产生的？让我们从整数说起 我们说桶内有5升水，这说明桶内水的含量，这个量是由数“5”和单位“升”来 共同表达的.所以数是反映量的，是量的抽象.量无非是多寡、长短和大小，是比较 出来的.例如，2匹马、5只羊，这是量的多寡，是可以数的量.似乎可以说，由这种可 数量的多寡比较产生了自然数1,2,3，….但自然数远远不足以度量长短，这是因 为长短是连续变化的，这种“连续”的量与上述“可数”的或“离散”的量有根本区别 人们想到，规定一个标准长叫“一尺”，一切长度拿来与这个标准长作比较，就产生 了有尽小数的概念，如3尺2寸5分，即3.25尺.大小就是面积或体积的比较，而 面积是长度的平方，体积是长度的立方，因此要用数反映量，归根到底，就是要创造 出足以反映一切长短的全部数来.也就是说，规定了标准的单位长以后，每一个线 段都相应有一个数表示其长短，并且数与数的关系能反映线段的长短关系 那么有尽小数是否能度量一切线段的长度呢？远远不能.例如，把22尺布分 给7个人，每人得22/7尺，这个数不能用有尽小数来表示，而是 2号=3.i4285. 即无尽循环小数.这是因为用7除22，除不尽，产生余数1；再除，产生余数3.如此 下去，每次所余只能是0,1，…，6这七个数之一.因此最多除7次必得重复出现的 余数.如果重复出现的余数是0，就得有尽小数，不然就得无尽循环小数.由此我们 可得一般的结论：分数都是有尽小数或无尽循环小数 那么有尽小数或无尽循环小数是不是一定是分数呢？答案是肯定的.例如 3.25= 325-13 100=4 无尽循环小数3.142857通过下面的方法也可写成分数：记 3.i42857=3+a, 其中a=0.142857,那么10a=142857+a,于是 142857-142857-1 106-1 999999 , 所以 3.i42857=3+号=2号 由以上讨论知道，任何分数一定是有尽小数或无尽循环小数，反之亦然.那么 分数能否度量一切线段的长度呢？仍是远远不能！ 我们知道，两条直角边均为1的直角三角形的斜边长为√2.这个数就不是一个 ·2·