临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例2设f(x)是偶函数且在点x=0可导,则f(0)=0 证明 .0)=lm()-/(0=m()-/02-1mO ∫(0 即f(0)=-f(0) 由∫(0)存在,→f(0)=(0)=f(0)→f(0)=-f(0)f(0)=0 x≠0 例3f(x)= 求f(0) 解:f(0)=lim lim -=0 f(x)= 0 设f(x)= 其中P为一的多项式注意到对任何正整数 m,lim=0,则有 →+ =lim临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 2 设 f (x) 是偶函数且在点 x = 0可导, 则 (0) 0 ' f = . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 lim 0 lim 0 0 lim ' 0 0 0 ' − → → = → + = − − = − − − − ==== − = + − + f t f t f t f t f x f x f f t t t x x 即 ( ) 0 (0). ' ' + = − − f f 由 (0)存在， ' f ( ) 0 (0) (0), (0) (0), (0) 0. ' ' ' ' ' ' ⇒ f + = f − = f ⇒ f = − f f = 例 3 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − 0 2 1 x e f x ⎩ 0 0 = ≠ x x 求 ( ) (0). n f 解: ( ) 0 lim lim 0. 2 2 0 1 1 0 ' = ==== = → = − → x t x t x x e t x e f ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∴ = − 0 2 2 1 3 x e x f x . 0 0 = ≠ x x 设 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 2 1 2 1 3 x n e x P x f x , 其中 0 0 = ≠ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x P 1 为 x 1 的多项式. 注意到对任何正整数 , lim = 0 →+∞ t m t e t m ，则有 ( ) ( ) 0. 1 1 0 lim 2 1 0 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − → + x x n e x P x f - 4 -