临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 对n,有f(0)=0 例4验证函数y= arcsin x满足微分方程 )e3)-(2n+1 n ≥ 并依此求y(0) 解: 两端求导→√1-x2y √1-x -x2)y-xy=0.对此式两端求n阶导数,利用 Leibniz公式,有 -x2)y)+C(-2x)1)+c:(-2)y)-xy x2)1m2)-(2n+1)xy)-n2y=0. 可见函数y= arcsin x满足所指方程在上式中令x=0得递推公式y+2)=n2y 注意到y(0)=0和y(0)=1,就有 2k时, n=2k+1时,y(0)=(2k-1)(2k-3)2…32.12f(0)=[2k-) 例5用对数求导法求y= (x-1)(x-2 的导数。 解:先在两边取对数(假定x>4)得 lny=[n(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4) 上式两端对x求导,并注意到y是x的函数,得 x一临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 对∀n, 有 . ( ) ( ) 0 . = 0 n f 例 4 验证函数 y = arcsin x 满足微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0. 2 2 1 2 − − + − = n+ n+ n x y n xy n y (n ≥ 3). 并依此求 ( ) (0) n y 解: , 1 1. 1 1 2 ' 2 ' − = − = x y x y 两端求导 0, 1 1 2 ' 2 ' = − ⇒ − − x xy x y 即 (1 ) 0. 2 " ' − x y − xy = 对此式两端求 n 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n x y C x y C y xy C y 2 2 1 1 2 1 1 1− + − 2 + − 2 − − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0. 2 2 1 2 = − − + − = n+ n+ n x y n xy n y 可见函数 y = arcsin x 满足所指方程.在上式中令 x = 0得递推公式 ( ) ( . n 2 2 n y = n y + ) 注意到 ( ) 0 0 和 , 就有 " y = ( ) 0 1. ' y = n = 2k 时, ( ) ( ) 0 = 0; n y n = 2k +1时, ( ) ( ) 0 (2 1) (2 3) 3 1 (0) [(2 1)!!] . 2 2 2 2 ' 2 y = k − k − ⋅ ⋅ f = k − n L 例 5 用对数求导法求 ( )( ) ( ) 3 ( 4) 1 2 − − − − = x x x x y 的导数。 解： 先在两边取对数（假定 x > 4 ）得 1 ln [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)] 2 y x = − + x − − −x − −x 。 上式两端对 x 求导，并注意到 y 是 x 的函数，得 1 1 1 111 ( ) 2 1 234 y y x x x x ′ = + − − − − − − - 5 -