临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 于是 另外,当x<1时,y= 当2<x<3时 用同样的方法可得到与上述相同的结果。 故 例6计算由摆线的参数方程 a(t-sint) a(1 cOSt 所确定的函数的二阶导数。 -cost)1-cos/s吹 asin t sin t dx dx (t≠2nr,n为整数) d dy、d dt d d女 (ctg dx du (ctg dt t a(1-cost) a(1-cost) 例7求由方程e+xy-e=0确定的隐含数y=y{x)的二阶导数 解:方程两边对x求导得(这里y是x的函数,e’是x的复合函数): 0,解得 y(x+e)-yl1+ey) (y是的函数) 注意:求y时,也可在方程 =0 两边对x求导,解出y,将y的表达式代入化简即得y,所得结果与前法当然是相同的临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 于是 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 ' x x x x y y 另外,当 x < 1时， ( )( ) ( ) x ( x) x x y − − − − = 3 4 1 2 ； 当2 < x < 3时， ( )( ) ( ) x ( x) x x y − − − − = 3 4 1 2 。 用同样的方法可得到与上述相同的结果。 故 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 ' x x x x y y 。 例 6 计算由摆线的参数方程 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t ⎧ = − ⎨ ⎩ = − 所确定的函数的二阶导数。 解： ( ) 1 cos 2 sin cos sin t ctg t t a a t a t dt dx dt dy dx dy = − = − = = （t ≠ 2nπ , n 为整数） 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 d y d dy d t dt d t ctg ctg dx dt dx dt dx dt dx dt = = = 2 2 1 1 1 (1 cos ) (1 cos ) 2sin 2 t a t a t = − ⋅ = − − − ( 2 t n ≠ π) 例 7 求由方程e + xy − e = 0 确定的隐含数 y y = y(x)的二阶导数。 解： 方程两边对 x 求导得（这里 y 是 x 的函数， 是 的复合函数）： y e x 0 ' ' e ⋅ y + y + xy = y ，解得 y x e y y + = − ' 。 ( ) ( ( ) ) 2 ' ' " 1 y y y x e y x e y e y y + + − + ∴ = − （ ' y 是的函数） 2 3 ( ) y y y e x e = − + 注意：求 '' y 时，也可在方程 0 y e y⋅ +′ ′ y + xy = 两边对 x 求导，解出 '' y ，将 ' y 的表达式代入化简即得 '' y ，所得结果与前法当然是相同的。 - 6 -