作为Ⅰ=」f(x)x的估计.显然它也是无偏估计而且 1a(1)=(6-a{a(m)=(6-a31[(m)2-E(m)] dx 1 (b-a)2f( (b-aM-l=var(n) 可见期望法比频率法更有效.但是期望法多算了N次函数值,这是需要花费计算时间的 所以在全面考虑有效性与计算时间的得失时,有时人们也愿意采用频率法 1.3减少方差的技术 用 Monte carlo方法计算积分∫f(x)时,未必一定要使用均匀随机数事实上,从 ab]上取值的任意一种随机数出发,都可以得到∫f(x)的估计量而且在f(x)20时 显见,值∫(x)大的x对于积分」f(x)dx有更大的贡献由此得到直观启发,所用的随机 数的分布密度的形状越象∫(x),则就越合理.这个思想就是重要度采样法 g-采样法 假定分布密度8(x)在f(x)非零处恒正,则积分=」f(x)h=/f(x) 8(x)8(x)dx.对于 密度为g(x)的“g-随机数”s,我们有 1= EL /(c b 于是对于N个独立的g-随机数512…5N,关于积分/=f(x)tx可取估计 A(g)A f(s1) g(51) g(s 显见它也是无偏的相合估计.利用 Schwartz不等式得到 (r)x=g(x)dx205 作为 ò = b a I f (x)dx 的估计. 显然它也是无偏估计. 而且 N Var f Var I b a [ ( )] ( ) ( ) 2 ^ ^ h = - [ ] 2 2 2 ( ) [ ( )] 1 ( ) Ef h Ef h N = b - a - 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) I b a N dx f x N b a b a - - = - ò 2 [( ) 1 b a MI I N £ - - ( ) ^ = Var I . 可见期望法比频率法更有效. 但是期望法多算了 N 次函数值, 这是需要花费计算时间的. 所以在全面考虑有效性与计算时间的得失时, 有时人们也愿意采用频率法. 1. 3 减少方差的技术 用 Monte Carlo 方法计算积分 ò b a f (x)dx 时, 未必一定要使用均匀随机数. 事实上, 从 [a, b]上取值的任意一种随机数出发, 都可以得到 ò b a f (x)dx 的估计量. 而且在 f (x) ³ 0 时 显见，值 f (x) 大的 x 对于积分 ò b a f (x)dx 有更大的贡献. 由此得到直观启发，所用的随机 数的分布密度的形状越象 f (x) , 则就越合理. 这个思想就是重要度采样法. 1. g - 采样法 假定分布密度g (x) 在 f (x) 非零处恒正, 则积分 I = ò b a f (x)dx ò = b a g x dx g x f x ( ) ( ) ( ) . 对于 密度为 g (x) 的 “g - 随机数” V , 我们有 ] ( ) ( ) [ V V g f I = E . (8. 4) 于是对于 N 个独立的 g - 随机数 N V , ,V 1 L , 关于积分I = ò b a f (x)dx 可取估计 ] ( ) ( ) [ 1 1 1 ( ) ^ V V g f N I g D = ] ( ) ( ) N N g f V V +L+ . (8. 5) 显见它也是无偏的相合估计. 利用 Schwartz 不等式得到 ò ò = b a b a g x dx g x dx g x f x ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ 2 ò b a g x dx g x f x ] ( ) ( ) ( ) [ 2