《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 §6重积分的应用 教学目的学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力. 教学内容曲面面积的计算公式：物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式： 引力的计算公式. 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量 的计算公式和引力的计算公式. 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的 计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题. 教学程序 一、曲面的面积 (一)、定义设D为可求面积的平面有界区域，函数化，)在D上具有连续的 一阶偏导数，讨论由方程：=在，以(c,)eD,所确定的曲面S的面积 1.对投影区域D作分割T,它把分成n个小区域·，(=1.，川，相应地也 将曲面S分成n个小曲面片S,=1.,川.在每个S,上任取一点M,作曲面在 这点的切平面元，并在元，上取出一小块4，使得4和S在平面上的投影都为·， 2.取近似AS,*A46=1,) 3.作和式 s-24244 AS, 4.取极限门→0用和式二心的极限作为S的面积。 (二入、计算公式 1.先计算4的面积，因切平面，的法向量就是曲面S在点M,传，5)处的 法向量，记它与：轴的夹角为，则 coSY,=- 1+G,n)+5,n, 因4：在少平面上的投影为·：，所以《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §6 重积分的应用 教学目的 学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． 教学内容 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式； 引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量 的计算公式和引力的计算公式． 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的 计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． 教学程序 一、曲面的面积 （一）、定义 设 D 为可求面积的平面有界区域，函数 f (x, y) 在 D 上具有连续的 一阶偏导数，讨论由方程 z = f (x, y),(x, y)D ，所确定的曲面 S 的面积. 1．对投影区域 D 作分割 T ，它把分成 n 个小区域  i (i =1,  ,n) ，相应地也 将曲面 S 分成 n 个小曲面片 i S (i =1,  ,n) ．在每个 i S 上任取一点 Mi ，作曲面在 这点的切平面  i ，并在  i 上取出一小块 Ai ，使得 Ai 和 i S 在平面上的投影都为  i ． 2．取近似 Si  Ai (i =1,  ,n) 3．作和式   = =  =    n i i n i S Si A 1 1 4．取极限 T → 0 用和式 =  n i Si 1 的极限作为 S 的面积． （二）、 计算公式 1．先计算 Ai 的面积，因切平面  i 的法向量就是曲面 S 在点 Mi ( )  i i i , 处的 法向量，记它与 z 轴的夹角为 i  ，则 ( ) ( ) x i i y i i i f   f    1 , , 1 cos 2 2 + + = , 因 Ai 在 xy 平面上的投影为  i ，所以