《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 A 4.=(cos)=+). 简和鼓玄△三+G-代见Aa是连装系数在有界阴区装D上 的积分和，故当→0时就得到 As.R2+飞.n+G7o,∬+6 皮4s余含岛夏能.种oW楼的与：华的正内 夹角的余弦， 例1求圆锥：=V+严在圆柱体产+)少产≤x内的那一部分的面积。 解45.小+小+张 D是+r≤，：=F+.5F,5,F4, 2π ++5,As.55An. 二、重心 设V是密度为pxy)的空间物体，px,y,)在V上连续，因V的质量为 M=∬p(xt,'对r平面的静力矩为∬xp,yt,由重心坐 标的概念有，以x少：分别表示V的重心的各个坐标，应有 M=J川xp(x,y)dt,所以 ∬p,ykt∬pt,ykt M 叮px,dt j∬ypt,y,kdt∬pk,ykd M ∬pxyt 类似地有 y= 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2  Ai = ( ) 1 cos  i = ( ) ( ) x i i y i i 1 f  , f  , 2 2 + +   i ． 而和数 =  n i 1 Ai =  ( ) ( ) = + +  n i x i i y i i i f f 1 2 2 1  ,  ,  是连续函数在有界闭区域 D 上 的积分和，故当 T → 0 时就得到  S =  ( ) ( ) = → + +  n i x i i y i i i T f f 1 2 2 0 lim 1  ,  ,  = f (x y) f (x y)dxdy D  + x + y 1 , , 2 2 , 或  S = = →  n i i i T 1 0 cos lim   = ( )  D n z dxdy cos , ．其中 cos(n,z) 为曲面的法向量与 z 轴的正向 夹角的余弦． 例 1 求圆锥 2 2 z = x + y 在圆柱体 x + y  x 2 2 内的那一部分的面积． 解  S = z (x y) z (x y)dxdy D  + x + y 1 , , 2 2 , D 是 x + y  x 2 2 ， 2 2 z = x + y ， 2 2 x y x z x + = ， 2 2 x y y z y + = , z (x y) z (x y) x y 1 , , 2 2 + + = 2 ,  S = dxdy D  2 = 2  D = 4 2 ． 二、重心 设 V 是密度为 (x, y,z) 的空间物体， (x, y,z) 在 V 上连续，因 V 的质量为 ( , , ) V M x y z dxdydz =   ，V 对 yz 平面的静力矩为 ( , , ) V x x y z dxdydz   ，由重心坐 标的概念有，以 x, y,z 分别表示 V 的重心的各个坐标，应有 ( , , ) x V M x x y z dxdydz =   ，所以 x = ( ) ( ) ( )    = V V V x y z dxdydz x x y z dxdydz M x x y z dxdydz , , , , , ,    ， 类似地有 y = ( ) ( ) ( )    = V V V x y z dxdydz y x y z dxdydz M y x y z dxdydz , , , , , ,   