在[a,+o)有界，则反常积分广fx)dx收敛. 分析：因为fx)≥0，F(x)在[a,+∞)上单调增加且有上界，故由[a,+o)上单调有界 函数必有极限可知Iim∫f)d1存在，即反常积分广fx)dx收敛. 定理2（比较审敛原理）设函数fx)、gx)在区间[a,+o)上连续。 (1)如果0≤fx)≤g(x)(a≤x<+o),并且g(x)dx收敛，则fx)dx也收敛： (2)如果0sg(x)sfx)(asx<+oo),并且g(x)dx发散，则∫f(x)dx也发散. 证设a<1<+o,由0≤fx)≤g()及gx)dx收敛，得 fax)dx≤g()dxsg)dx 这表明F)=f(x)dx在[a,+o)上有界.由定理1即证(I). 若0≤g(x)≤fx)且∫g(x)dx发散，则fx)dx必发散.因为如果fx)dx 收敛，则由(1)知g(x)x收敛，这与假设相矛盾，证毕。 定理3（比较审敛法1）设函数f(x)在区间[a,+o)(a>0)上连续，且f(x)≥0. ①奥吴存在带最M>0p>1.使得/心)s岩as<+,则反常银分厂7d: 收敛： @如果车在常爱N>0,使得/国上兰a<国，服积分厂d发数 定理4（极限审敛法1）设函数f(x)在区间[a,+o)上连续，且f(x)20 (1)如果存在常数p>1,使得lim xf(x)存在，则反常积分fx)dx收敛： (2)如果mf)=d>0(或m)=+o,则反常积分fx)dx发散 证设mxPf)=c（p>1),由极限定义知：存在充分大的x(G之ax>0),当 x>x时，必有|xf(x)-ck1,由此得0≤xfx)<1+c 令1+C=M>0,于是在区间<x<切内不等式0)成立.由比较审 敛法1知”f(x)dx收敛，而 在 [ , ) a + 有界，则反常积分 ( )d a f x x +  收敛． 分析：因为 f x( ) 0  ， F x( ) 在 [ , ) a + 上单调增加且有上界，故由 [ , ) a + 上单调有界 函数必有极限可知 lim ( )d x x a f t t →+  存在，即反常积分 ( )d a f x x +  收敛． 定理 2（比较审敛原理） 设函数 f x( ) 、 g x( ) 在区间 [ , ) a + 上连续． （1）如果 0 ( ) ( )   f x g x ( ) a x   + ，并且 ( )d a g x x +  收敛，则 ( )d a f x x +  也收敛； （2）如果 0 ( ) ( )   g x f x ( ) a x   + ，并且 ( )d a g x x +  发散，则 ( )d a f x x +  也发散． 证 设 a t   + ，由 0 ( ) ( )   f x g x 及 ( )d a g x x +  收敛，得 ( )d ( )d ( )d t t a a a f x x g x x g x x +      这表明 ( ) ( )d t a F t f x x =  在 [ , ) a + 上有界．由定理 1 即证（1）． 若 0 ( ) ( )   g x f x 且 ( )d a g x x +  发散，则 ( )d a f x x +  必发散．因为如果 ( )d a f x x +  收敛，则由（1）知 ( )d a g x x +  收敛，这与假设相矛盾，证毕． 定理 3（比较审敛法 1） 设函数 f x( ) 在区间 [ , ) a + ( 0) a  上连续，且 f x( ) 0  ． （1）如果存在常数 M p   0, 1 ，使得 ( ) p M f x x  ( ) a x   + ，则反常积分 ( )d a f x x +  收敛； （2）如果存在常数 N  0，使得 ( ) N f x x  ( ) a x   + ，则反常积分 ( )d a f x x +  发散． 定理 4（极限审敛法 1）设函数 f x( ) 在区间 [ , ) a + 上连续，且 f x( ) 0  ． （1）如果存在常数 p 1 ，使得 lim ( ) p x x f x →+ 存在，则反常积分 ( )d a f x x +  收敛； （2）如果 lim ( ) 0 x xf x d →+ =  （或 lim ( ) x xf x →+ = + ），则反常积分 ( )d a f x x +  发散． 证 设 lim ( ) p x x f x c →+ = （ p 1 ），由极限定义知：存在充分大的 1 x 1 1 ( , 0) x a x   ，当 1 x x  时，必有 | ( ) | 1 p x f x c −  ，由此得 0 ( ) 1 p   + x f x c ． 令 1 0 + =  c M ，于是在区间 1 x x   + 内不等式 0 ( ) p M f x x   成立．由比较审 敛法 1 知 1 ( ) d x f x x +  收敛，而