例:设m=√z=I,规定0≤arg(z-1)<2丌,求u(2),u(1,u(0),u(-i) 解argw=aarg(z-1).因为0≤arg(z-1)<2丌,所 arg(z-1)2=2=0,(2)=1 arg(2-1)2= 3πi/8 arg(2 (0) arg(2-1) π,(-i) ·在辐角规定0≤arg(z-a)<2π下,v的辐角一定限制在0≤argv<π,即被限制在上半 平面 在这样的限制下,=√z=a值与自变量z值之间存在一一对应的关系 图25a 图25b ·如果规定2π≤arg(z-a)<4π,则π≤argu<2π,v将限制在下半平面 U值与自变量z值又有新的一一对应关系 ·在4≤arg(z-a)<6丌,6n≤arg(-a)<8π,…或者-2π≤arg(z-a)<0,-4≤arg(z-a)< 2,…的规定之下,还会重复出现这些结果 因此 ·只要适当规定宗量的辐角变化范围,就可以将多值函数单值化 ·辐角变化的各个周期,给出多值函数的各个单值分枝 ·每个单值分枝都是单值函数,整个多值函数就是它的各个单值分枝的总和 在上面的讨论中,多值函数v=√z-a有两个单值分枝,分别是的上半平面和下半平面 0≤arg(z-a)<2π给出单值分枝I:0≤argu<π, 2n≤arg(z-a)<4给出单值分枝Ⅱ:丌≤argu<2r 将多值函数划分为若干个(甚至无穷个)单值分枝,其实质就是限制z的变化方式.例如在上 面的例子中,就是限制z不得绕z=a点或∞点转圈.这种规定可以用几何方法形象化地表现出 来(见图2.5).在z平面上平行于实轴从z=a点向右作一割线,一直延续到∞点.如果规定在Wu Chong-shi ❄❅❆ ￾✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 27 ✆ ❷ ➅❪ w = √ z − 1 ❏ ✫❩ 0 ≤ arg(z − 1) < 2π ❏❫ w(2), w(i), w(0), w(−i) ✴ ❴ arg w = 1 2 arg(z − 1) ✴ ➥ ✿ 0 ≤ arg(z − 1) < 2π ❏❀ ✥ arg(z − 1)   z=2 = 0, w(2) = 1, arg(z − 1)   z=i = 3 4 π, w(i) = √4 2e3π i/8 , arg(z − 1)   z=0 = π, w(0) = eπ i/2 = i, arg(z − 1)   z=−i = 5 4 π, w(−i) = √4 2e5π i/8 . • ✭ ✙ ✙ ✫❩ 0 ≤ arg(z − a) < 2π ✠ ❏ w ✱ ✙ ✙ ❳❩❬❭✭ 0 ≤ arg w < π ❏ø❵❬❭✭ ✔❛ ▲▼✴ ✭✹➓ ✱❬❭✠ ❏ w = √ z − a ➄✒ ï ✬ð z ➄✓●❜✭ ❳❳⑤ ✪ ✱ ❍■✴ ❥ 2.5a ❥ 2.5b • ✵ ✼✫❩ 2π ≤ arg(z − a) < 4π ❏④ π ≤ arg w < 2π ❏ w ✷❬❭✭ ✠❛▲▼✴ w ➄✒ ï ✬ð z ➄❝❂❞✱ ❳❳⑤ ✪❍■✴ • ✭ 4π ≤ arg(z −a) < 6π, 6π ≤ arg(z −a) < 8π, · · · ❽õ −2π ≤ arg(z −a) < 0, −4π ≤ arg(z −a) < −2π, · · · ✱ ✫❩ ✓ ✠ ❏❱❡❢✮➨û✹✺✕✼✴ ➥➦❏ • ❣❤✐❍ ✫❩✜ð ✱ ✙ ✙ ✬➤❥ ❦❏ ô✤✥✷❢➄✕✖✴ ➄ ➤ ✴ • ✙ ✙ ✬➤✱➛✇➆➇❏î➨❢➄✕✖✱➛✇✴ ➄❞❋✴ • ❧✇ ✴ ➄❞❋ ✣★✴ ➄✕✖❏♠✇❢➄✕✖ô★✜✱➛✇✴ ➄❞❋✱♥ ❵ ✴ ✭ ✔ ▼✱♦ ✖ ✰❏❢➄✕✖ w = √ z − a ❂✑✇ ✴ ➄❞❋❏❞❡★ w ✱ ✔❛▲▼❵✠❛▲▼➅ 0 ≤ arg(z − a) < 2π î➨✴ ➄❞❋ ♣➅ 0 ≤ arg w < π, 2π ≤ arg(z − a) < 4π î➨✴ ➄❞❋ q➅ π ≤ arg w < 2π. ✷❢➄✕✖r❞✿st✇ (✉✈⑨⑩✇) ✴ ➄❞❋❏ ❝✫ ❃ ô★ ❬❭ z ✱ ✬➤÷❤✴❷ ✵✭✔ ▼✱❷✇ ✰❏ô★ ❬❭ z ➂① ❇ z = a P❽ ∞ P❈❉✴✹➜✫❩✤✥➊② ✶÷③➒③ ➤ ✝úû➨ ✗ (✥❀ 2.5) ✴✭ z ▲▼✔ ▲④ t✫❺⑤ z = a P ⑥⑦✾ ❳⑧ ✰❏ ❳⑨⑩✲✸ ∞ P ✴✵✼✫❩ ✭