3.5在量子力学中的蒙特卡洛方法 量子力学中的波函教是直接与几亭度相关的量,与波函教 相关的分布密度函教具有头系式 p(,O)dx=cY(, d)dr 波函数屮(x,)也被称为几卒幅度。因此人们很自嶽地到可以利 用象兮卡洛方法來求解量子力学问题。 3.5.1量子力学回顾 量子力学的基本方程是薛定格方程 HY(, t)=ih ap 其哈密顿量犷带可以写为 H 从费曼的观点来看,一个粒子在棊个时刻t。某空间位量x的波 函数应当是来自所有的物始庵位置“險”到该时空胤的幅度。 即 H(l)=D2(元0,4)P(, 上式中的D,(,,4)称为“传播子”。该传播子可以来示为 D()1-)) 如果vn()为与时间无关的哈顿量的本征波函数,则它只 的薛定格力程为 Hy,=Ey,G), 波函教也可以用昃开式表示为 平(,)=∑cn(n(x) 其中c()=v(P()。由这些表达式,我们得到传子的 个精确豪示为 D(,1元,10=0)=∑xn)e“n1)=∑vn((元。" 假定该式在延拓到t为值时仍成立,令t=-,则有 D1(,1元,10=0)=∑n(x(n3.5 在量子力学中的蒙特卡洛方法 量子力学中的波函数是直接与几率密度相关的量, 与波函数 相关的分布密度函数具有关系式 p x t dx c x t dx G G G 2 G ( , ) = Ψ( , ) . 波函数 (x, t) G Ψ 也被称为几率幅度。因此人们很自然地想到可以利 用蒙特卡洛方法来求解量子力学问题。 3.5.1 量子力学回顾 量子力学的基本方程是薛定格方程 t H x t i ∂ ∂Ψ Ψ = = G ( , ) ˆ . 其哈密顿量算符H 可以写为 V m H ˆ 2 ˆ 2 2 = − ∇ + = . 从费曼的观点来看，一个粒子在某个时刻 t，某空间位置 G x 的波 函数应当是来自所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅度。 即 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x,t D x,t; x ,t x ,t dx F G G G G G Ψ = ∫ Ψ +∞ −∞ . 上式中的D x F ( t x t 称为“传播子”。该传播子可以表示为 G G , ; , 0 0 ) D x t x t x ( ) i H t t x F ( , ; , ) exp G G G = G 0 0 = − − 0 0       . 如果 (x) n G ψ 为与时间无关的哈密顿量H 的本征态波函数，则它满足 的薛定格方程为 H ( ) x E (x) n n n G G ˆψ = ψ ， 波函数也可以用展开式表示为 (x t) c t (x) n n n G G Ψ , = ∑ ( )ψ . 其中c 。由这些表达式，我们得到传播子的一 个精确表示为 t dx ( ) x (x t) n n ( ) , G * G G = ∫ Ψ +∞ −∞ ψ ( ) ( ) ( ) G G G = G G G / = 0 * 0 / 0 0 , ; , 0 | | iE t n n n n n iE t F n n n D x t x t x e x x x e − − = = ∑ ψ ψ = ∑ψ ψ . 假定该等式在延拓到 t 为虚值时仍成立，令t = −iτ ，则有 ( ) ( ) ( ) G G G G / = 0 * , ; 0 , 0 0 τ ψ ψ En n n F n D x t x t x x e − = = ∑ . 1