第五讲宇宙的形状-庞加莱猜想 课题问答：五角星+五边形是否可以一笔画？正方形加上两条对角 线是否可以一笔画？ 课题问答与练习：正n(n≥4)边形加上其所有对角线是否可以一笔 画？ 课题问答：什么是3-维球面？或如何构造3-维球面？ 课堂练习：两个圆周的乘积S1×S1是什么图形？平面的商R×R/(Z× Z)是什么图形？ 庞加莱的上半平面双曲模型，其中由弧微分给出的距离为 (ds)2=(dr2+(2 3 即两点P1=(x1,h)与P2=(2,)的距离为 d()=arecosh(+2( 2y12 其中cosh是双曲余弦函数，定义如下 cosh()=c+ez 2 而arccosh是反双曲余弦函数，即 arccosh(x)=In(x+vz2-1). 课堂练习1：(1,1)到(2,1)的距离是多少？(1,2)到(2,2)的距离是 多少？(1,3)到(2,3)的距离是多少？(0,1)到(0,2)的距离是多少？ 课堂练习2：分别计算单位圆x1=1与单位圆xo=1的直径.第五讲 宇宙的形状 - 庞加莱猜想 课题问答：五角星 + 五边形是否可以一笔画？正方形加上两条对角 线是否可以一笔画？ 课题问答与练习：正 n (n ≥ 4) 边形加上其所有对角线是否可以一笔 画? 课题问答：什么是 3- 维球面? 或如何构造 3- 维球面? 课堂练习: 两个圆周的乘积 S 1 × S 1 是什么图形? 平面的商 R × R/(Z × Z)是什么图形？ 庞加莱的上半平面双曲模型，其中由弧微分给出的距离为 (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 y 2 . 即两点 P1 = (x1, y1)与 P2 = (x2, y2)的距离为 d(P1, P2) = arccosh(1 + (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 2y1y2 ) 其中 cosh 是双曲余弦函数，定义如下 cosh(x) = e x + e −x 2 而 arccosh是反双曲余弦函数，即 arccosh(x) = ln(x + √ x 2 − 1). 课堂练习 1：(1, 1) 到 (2, 1) 的距离是多少？(1, 2) 到 (2, 2) 的距离是 多少？(1, 3) 到 (2, 3) 的距离是多少？(0, 1) 到 (0, 2) 的距离是多少？ 课堂练习 2：分别计算单位圆 ||x||1 = 1 与单位圆 ||x||∞ = 1 的直径. 4