D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.08.020 第29卷第8期 北京科技大学学报 Vol.29 No.8 2007年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug:2007 基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 陈章华余顺利 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要采用基于应变梯度理论的假设应变有限元方法研究了微尺度梁弯曲的尺寸效应·在假设应变单元设计中，非局部的 应变梯度项通过围绕高斯点的胞元进行数值积分得到·在本构方程中引入等效应变梯度项，在积分本构方程时就可以反映材 料在微细变形时的尺寸效应：为了验证本方法的正确性，对微尺度下的悬臂梁进行了模拟计算.计算结果与已发表的实验结 果比较吻合，表明可以模拟出材料微细变形的尺寸效应，具有较好的计算精度 关键词假设应变有限元；应变梯度；尺度效应：微尺度梁 分类号TB115:0241.82 近年来，随着微型化产品需求的不断增加，具有 单元的柔性和收敛性 高精度的微机械制造方法日益重要，在材料尺寸为 1基于细观机制应变梯度理论的非协 几个微米直至几百个微米时，都出现显著的尺寸效 应，而传统的理论不能对此做出解释， 调有限元方法 如今有许多理论使用特征尺寸的概念来解释材 1.1基于细观机制的应变梯度本构理论 料的尺寸效应，Aifantis假设屈服应力依赖于塑性 最初应变梯度理论为了考虑旋转梯度的影响， 应变梯度，讨论了应变梯度塑性模型的不同模 加入了偶应力，但是这样导致了高阶边界条件的出 式[2].Fleck和Hutchinson3、Fleck等[]提出的 现，难于用常规有限元求解.Gao和Huang8]提出 模型也类似，局部四阶偏微分方程替代了常规的二 了基于Taylor非局部塑性的理论，此理论不用偶应 阶微分方程.Bassani等[G-7假设塑性应变梯度仅仅 力和相应的高阶边界条件，应变梯度通过在典型单 影响瞬时刚度，缺点是不能捕捉到边界层现象，Go 元的高斯点上进行胞元积分获得，有利于通用有限 和Huang⑧]基于Taylor非局部塑性的理论，提出了 元接口编程· 基于细观机制的应变梯度理论， 基于细观机制的应变梯度以Taylor位错模型 另一方面，传统常应变单元在不可压缩材料的 为基础，Nix和Gao从描述材料的抗剪强度和位错 弯曲和平面应变问题时没有表现出很好的精度.自 密度的Taylor关系出发给出： 20世纪70年代以来，许多研究者进行了大量的探 t=a4,=ad%R十Pe (1) 索，一种比较有效的方法是非协调单元.其中，Simo 其中，P为总体位错密度，？为统计位错密度，Pc 以及其他研究者)以三场变分原理为基础，提出了 为几何必需位错密度，H为切变模量，b为Burgers 增强假设应变模型(EASM),已经用于模拟线弹性 向量，a为经验常数（在0.2与0.5之间），按照von 和非线性问题10]，然而，这种单元在近似不可压缩 Mises屈服准则，拉伸流动应力可以表达为 时仍表现出自锁现象].目前，低阶四边形单元 =dNf(e)十m (2) 备受关注，因为它们在粗糙网格划分时仍然体现出 式中，为单轴拉伸的参考应力，e为正应变，l为 很好的精确性，特别是在以弯曲为主的情况下；而且 材料特征尺寸，？为等效应变梯度 这些单元在基于增强假设应变模式后，即使在近似 不可压缩材料时也不出现自锁现象，因此在通用有 l=18a2 b (3) 限元程序中更受欢迎，该方法主要是在单元内部附 等效应变梯度定义为： 加一个假设应变场，来增加单元自由度数，从而提高 =层 (4) 收稿日期：2006-01-04修回日期：2006-03-09 基金项目：留学回国人员科研启动基金(Na.20040600950) 其中，为偏应变梯度分量。在非局部连续性结构 作者简介：陈章华(1959一)，男，教授，博士生导师 中，作为非局部变量来处理：基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 陈章华 余顺利 北京科技大学应用科学学院‚北京100083 摘 要 采用基于应变梯度理论的假设应变有限元方法研究了微尺度梁弯曲的尺寸效应．在假设应变单元设计中‚非局部的 应变梯度项通过围绕高斯点的胞元进行数值积分得到．在本构方程中引入等效应变梯度项‚在积分本构方程时就可以反映材 料在微细变形时的尺寸效应．为了验证本方法的正确性‚对微尺度下的悬臂梁进行了模拟计算．计算结果与已发表的实验结 果比较吻合‚表明可以模拟出材料微细变形的尺寸效应‚具有较好的计算精度． 关键词 假设应变有限元；应变梯度；尺度效应；微尺度梁 分类号 TB115；O241∙82 收稿日期：2006-01-04 修回日期：2006-03-09 基金项目：留学回国人员科研启动基金（No．20040600950） 作者简介：陈章华（1959—）‚男‚教授‚博士生导师 近年来‚随着微型化产品需求的不断增加‚具有 高精度的微机械制造方法日益重要．在材料尺寸为 几个微米直至几百个微米时‚都出现显著的尺寸效 应‚而传统的理论不能对此做出解释． 如今有许多理论使用特征尺寸的概念来解释材 料的尺寸效应．Aifantis 假设屈服应力依赖于塑性 应变梯度‚讨论了应变梯度塑性模型的不同模 式［1—2］．Fleck 和 Hutchinson ［3—4］、Fleck 等［5］提出的 模型也类似‚局部四阶偏微分方程替代了常规的二 阶微分方程．Bassani 等［6—7］假设塑性应变梯度仅仅 影响瞬时刚度‚缺点是不能捕捉到边界层现象．Gao 和 Huang ［8］基于 Taylor 非局部塑性的理论‚提出了 基于细观机制的应变梯度理论． 另一方面‚传统常应变单元在不可压缩材料的 弯曲和平面应变问题时没有表现出很好的精度．自 20世纪70年代以来‚许多研究者进行了大量的探 索‚一种比较有效的方法是非协调单元．其中‚Simo 以及其他研究者［9］以三场变分原理为基础‚提出了 增强假设应变模型（EASM）‚已经用于模拟线弹性 和非线性问题［10］．然而‚这种单元在近似不可压缩 时仍表现出自锁现象［11—12］．目前‚低阶四边形单元 备受关注‚因为它们在粗糙网格划分时仍然体现出 很好的精确性‚特别是在以弯曲为主的情况下；而且 这些单元在基于增强假设应变模式后‚即使在近似 不可压缩材料时也不出现自锁现象‚因此在通用有 限元程序中更受欢迎．该方法主要是在单元内部附 加一个假设应变场‚来增加单元自由度数‚从而提高 单元的柔性和收敛性． 1 基于细观机制应变梯度理论的非协 调有限元方法 1∙1 基于细观机制的应变梯度本构理论 最初应变梯度理论为了考虑旋转梯度的影响‚ 加入了偶应力‚但是这样导致了高阶边界条件的出 现‚难于用常规有限元求解．Gao 和 Huang ［8］ 提出 了基于 Taylor 非局部塑性的理论‚此理论不用偶应 力和相应的高阶边界条件‚应变梯度通过在典型单 元的高斯点上进行胞元积分获得‚有利于通用有限 元接口编程． 基于细观机制的应变梯度以 Taylor 位错模型 为基础．Nix 和 Gao 从描述材料的抗剪强度和位错 密度的 Taylor 关系出发给出： τ＝αμb ρT＝αμb ρS＋ρG （1） 其中‚ρT 为总体位错密度‚ρS 为统计位错密度‚ρG 为几何必需位错密度‚μ为切变模量‚b 为 Burgers 向量‚α为经验常数（在0∙2与0∙5之间）．按照 von Mises 屈服准则‚拉伸流动应力可以表达为 σ＝σref f 2（ε）＋ lη （2） 式中‚σref为单轴拉伸的参考应力‚ε为正应变‚l 为 材料特征尺寸‚η为等效应变梯度． l＝18α2 μ σref 2 b （3） 等效应变梯度定义为： η＝ 1 4 η′ijk·η′ijk （4） 其中‚η′ijk为偏应变梯度分量．在非局部连续性结构 中‚作为非局部变量来处理： 第29卷 第8期 2007年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．8 Aug．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．08．020