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·808 北京科技大学学报 第29卷 力矢量，展开表示为 fie"(de,a) ()sdv (5) Ja[B]a.W([B](dI+[G](oH)dv 其中，Il为胞元立方体的惯性矩，、、分别为 he(de.a)= 三个正交方向坐标值， 表示对整个胞元进行 Ja[C]aW([B](dI+[C](@H)dv 积分 号品av=2 (12) (6) 引入 其中，。为胞元长度，它是一个在计算胞元内应变 [c]=W([B]{d}+[G]{a4)(13) 梯度时控制精度的分辨率参数 各模量矩阵可以通过单元位移矢量及单元内变量矢 1.2增强假设应变有限元 量(d),)来表示： 增强假设应变方法在应变场中增加了一个增强 的应变场： [H]=J[CT[c][G]dv e=7“u十8 (7) (14) [r]=Ja[G][c(][B]dv 其中，7u为位移场的对称梯度，ε为应变场的增强 有限元程序工作步骤如下. 部分，增强应变场ε并不可以任意选取，为满足具 (1)在单元级别形成工作矩阵，并在迭代过程 有三个独立场的Hu一Vashizu广义变分原理，必须 中更新内变量)： 在单元内部先对应力场σ施加相对于增强假设应 (k) 变场ε的L2一正交化条件： [K][g]△d {f-f严 L[] H] △a 〈0,9L2= GEd V=0 (8) (15) 以满足分片实验和在单元内部消去作为独立变量的 +)=a-[H]-[T)]{△d)}-h&] 假设应力场，由能量泛函： (16) Π(u,e,o)=JgW,(e)dV+ (2)在单元级别通过静态凝聚消除内变量，形 成与内变量相关的内载荷向量及刚度矩阵： [V'u-8]dv-Gest (u)=0 (9) {f8)={f-[Hg)]1he) 其中，，￡，。分别为真实位移场，应变场和应力场， Gext(u)为外力虚功 [K=J[BT[C]([B]dv- (17) 由三个独立场的性质，对能量泛函变分，可以得 [r][H][] 到下面等效的三场变分方程： (3)根据组装形成的总刚度方程和载荷向量， 'u.:w(V 'u+8)dv-Gext=0 计算位移校正值： 0·dV=0 1△a+)=[K]-11R (18) {d(k+)={d()+{△d(k+) (19) E[-6+a:W(7 u+8)]dv=0 (4)如果没有收敛，则回到步骤(1)继续迭代. 1.3基于应变梯度理论的有限元程序 (10) 本文利用基于细观机制的应变梯度理论和增强 对以上变分方程进行离散化，可构造出有限元方程： 应变有限元方法，通过围绕高斯点的胞元积分可以 A[f(d,g)-{f8]=0 得到非局部的应变梯度项，进而得到如下的本构 (11) he(de)=0,e=1,2.....ndom 方程： 其中，A表示装配形成总刚度矩阵的有限元集合算 y=时十ud时/3 (20) 子，{f严{、{f分别为单元等效内力矢量和单元外 其中，η′ijk＝ 1 Ice∫ll V cell εikξj＋εjkεi—εiεj k— 1 4 （δikξj＋δjkξi）εpp d V （5） 其中Icell为胞元立方体的惯性矩ξi、ξj、ξk 分别为 三个正交方向坐标值∫V cell 表示对整个胞元进行 积分． Icell＝∫V cell ξ2 1d V ＝ 1 12 l 5 ε （6） 其中lε为胞元长度它是一个在计算胞元内应变 梯度时控制精度的分辨率参数． 1∙2 增强假设应变有限元 增强假设应变方法在应变场中增加了一个增强 的应变场： ε＝∇s u＋ε （7） 其中∇s u 为位移场的对称梯度ε为应变场的增强 部分．增强应变场 ε并不可以任意选取为满足具 有三个独立场的 Hu—Washizu 广义变分原理必须 在单元内部先对应力场 σ施加相对于增强假设应 变场ε的 L2—正交化条件： 〈σε〉L2＝∫σεd V ＝0 （8） 以满足分片实验和在单元内部消去作为独立变量的 假设应力场．由能量泛函： Π（ uεσ）＝∫β Ws（ε）d V ＋ ∫β σ［∇s u—ε］d V — Gext（ u）＝0 （9） 其中uεσ分别为真实位移场应变场和应力场 Gext（ u）为外力虚功． 由三个独立场的性质对能量泛函变分可以得 到下面等效的三场变分方程： ∫β ∇ s u·∂εW（∇ s u＋ε）d V － Gext ＝0 ∫β σ·εd V ＝0 ∫β ε［—σ＋∂εW（∇ s u＋ε）］d V ＝0 （10） 对以上变分方程进行离散化可构造出有限元方程： A n elem e＝1 ［｛f int e （ deαe）｝—｛f ext e ｝］＝0 ｛he（ deαe）｝＝0e＝12…nelem （11） 其中A 表示装配形成总刚度矩阵的有限元集合算 子｛f int e ｝、｛f ext e ｝分别为单元等效内力矢量和单元外 力矢量．展开表示为： ｛f int e （ deαe）｝＝ ∫βe ［ B］ T∂εW（［ B］｛de｝＋ ［ G］｛αe｝）d V ｛he（ deαe）｝＝ ∫βe ［ G］ T∂εW（［ B］｛de｝＋ ［ G］｛αe｝）d V （12） 引入 ［ C （ k） ］＝∂2 εεW（［ B］｛d （ k） e ｝＋［ G］｛α（ k） e ｝） （13） 各模量矩阵可以通过单元位移矢量及单元内变量矢 量（ d （ k） e α（ k） e ）来表示： ［ H （ k） e ］ ＝∫βe ［ G］ T ［ C （ k） ］ ［ G］d V ［Γ（ k） e ］ ＝∫βe ［ G］ T ［ C （ k） ］ ［ B］d V （14） 有限元程序工作步骤如下． （1） 在单元级别形成工作矩阵并在迭代过程 中更新内变量 α（ k） e ： ［ Ke ］ ［ΓT e ］ ［Γe ］ ［ He ］ （ k） Δde Δαe （ k） ＝ ｛f ext e ｝—｛f int e ｝ ｛he｝ （ k） （15） α（ k＋1） e ＝α（ k） e —［ H （ k） e ］ —1［ ［Γ（ k） e ］｛Δd （ k） e ｝—｛h （ k） e ｝］ （16） （2） 在单元级别通过静态凝聚消除内变量形 成与内变量相关的内载荷向量及刚度矩阵： ｛f int e ｝（ k） ＝｛f int e ｝（ k） － ［ H （ k） e ］ －1｛he｝（ k） ［ K int e ］ （ k） ＝∫βe ［ B］ T ［ C］ （ k） ［ B］d V － ［Γ（ k） e ］ ［ H （ k） e ］ －1［Γ（ k） e ］ （17） （3） 根据组装形成的总刚度方程和载荷向量 计算位移校正值： ｛Δd｝（ k＋1）＝［ K （ k） ］ —1｛R｝（ k） （18） ｛d｝（ k＋1）＝｛d｝（ k）＋｛Δd｝（ k＋1） （19） （4） 如果没有收敛则回到步骤（1）继续迭代． 1∙3 基于应变梯度理论的有限元程序 本文利用基于细观机制的应变梯度理论和增强 应变有限元方法通过围绕高斯点的胞元积分可以 得到非局部的应变梯度项进而得到如下的本构 方程： σij＝σ′ij＋σkkδij／3 （20） 其中 ·808· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷