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第8期 陈章华等：基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 ,809 830MPa,材料特征尺寸I=7m 0u=3K陆，0时= 2G)2+ 进行单元划分时，在单元横向和纵向的划分数 (21) 分别为20和4，总单元数为80，如图2所示，在模型 其中，K为体积弹性模量 右端上下分别施加大小为1N的集中力，各种单元 2 模拟计算出的微悬臂梁上端弯曲应力分别如图2 所示 (22) 显然，当材料特征尺寸=0时，就是通常的小 变形弹性模型.根据以上的本构模型，发展了基于 细观机制应变梯度理论的非协调有限元程序 (EMSG). 2 um 2数值算例 图2微悬臂梁弯曲的网格及加载图 Fig.2 Grid and load for micro-beam bending 2.1与实验数据比较 为了验证EMSG的可行性，模拟了两个微悬臂 从图3可以看出，没有考虑应变梯度的C8数 梁模型，长为10m,高分别为0.5m和1m,材料 值误差比较大，而EMSG和TNT8有很好的吻合 常数为：杨氏模量E=150.0GPa,泊松比v=0.3, 性，具有更高的精度 参考应力om=1500MPa,材料特征尺寸l=7m 200 -*-EMSG 分别在悬臂梁的自由端施加集中力，将计算结果与 150F --TNT8 文献[13]的图9中线性部分的实验数据进行比较， --C8 结果如图1所示 100 400 504 300 0.5 1.0 15 2.0 梁上端表面x方向坐标μ仙m 20叶 -o-0.5μm实验值 一一0.5um计算值 图3微悬臂梁弯曲应力比较 100 -o一1.0m实验值 -▲一1.0μm计算值 Fig.3 Stress contrast for micro-beam bending 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 3 结论 应变 图1微悬臂梁应力应变图 (1)本文将非协调有限元模式和基于细观机制 Fig.1 Stress-strain behavior for micro-beam bending 应变梯度理论结合起来，把非局部的应变梯度通过 围绕高斯点的胞元积分而加入到本构方程中，通过 图1中数据显示，数值计算结果与实验数据比 这种方法，发展了一种基于细观机制应变梯度理论 较吻合，符合同样的应变时厚度小的应力反而大的 的非协调有限元程序(EMSG)·为验证EMSG的性 趋势. 能，对微尺度悬臂梁进行了模拟计算 2.2不同单元的数值比较 (2)EMSG对微观悬臂梁弯曲数值计算，结果 为了检验本文所提的基于应变梯度理论的低阶 与实验数据相吻合，在同等条件下、相同应变时，厚 假设应变单元的计算可靠性，与常规的等参八节点 度小的结构的应力反而大；这是因为厚度小的结构 单元(C8)基于细观机制应变梯度理论的等参八节 产生的应变梯度较大，从而使最终应力较大， 点单元(TNT8)进行数值比较，具体对象为微观悬 (③)在与其他单元的模拟对比的结果显示， 臂梁的弹性弯曲 EMSG作为一种四节点单元，在对微尺度结构进行 建立一个长为2m,高为0.4m的二维模型来 分析时，与基于细观机制应变梯度理论的等参八节 模拟微观悬臂梁.材料常数为：杨氏模量E= 点单元数值比较吻合，在对微观结构进行模拟计算 120.0GPa,泊松比v=0.3,参考应力od= 时，比常规单元有更好的精度σkk＝3Kεkkσ′ij＝ （2G） 2＋ 2 3 2σ2 ref lη ε2 ε′ij （21） 其中K 为体积弹性模量． ε＝ 2 3 ε′iεj′ijε′ij＝εij— 1 3 δiεj ppεij＝ 1 2 （ uij＋ uji） （22） 显然当材料特征尺寸 l＝0时就是通常的小 变形弹性模型．根据以上的本构模型发展了基于 细 观 机 制 应 变 梯 度 理 论 的 非 协 调 有 限 元 程 序 （EMSG）． 2 数值算例 2∙1 与实验数据比较 为了验证 EMSG 的可行性模拟了两个微悬臂 梁模型长为10μm高分别为0∙5μm 和1μm材料 常数为：杨氏模量 E＝150∙0GPa泊松比 ν＝0∙3 参考应力 σref＝1500MPa材料特征尺寸 l＝7μm． 分别在悬臂梁的自由端施加集中力将计算结果与 文献［13］的图9中线性部分的实验数据进行比较 结果如图1所示． 图1 微悬臂梁应力应变图 Fig．1 Stress-strain behavior for micro-beam bending 图1中数据显示数值计算结果与实验数据比 较吻合符合同样的应变时厚度小的应力反而大的 趋势． 2∙2 不同单元的数值比较 为了检验本文所提的基于应变梯度理论的低阶 假设应变单元的计算可靠性与常规的等参八节点 单元（C8）基于细观机制应变梯度理论的等参八节 点单元（TNT8）进行数值比较具体对象为微观悬 臂梁的弹性弯曲． 建立一个长为2μm高为0∙4μm 的二维模型来 模拟微观悬臂梁．材料常数为：杨氏模量 E ＝ 120∙0GPa泊 松 比 ν＝0∙3参 考 应 力 σref ＝ 830MPa材料特征尺寸 l＝7μm． 进行单元划分时在单元横向和纵向的划分数 分别为20和4总单元数为80如图2所示在模型 右端上下分别施加大小为1N 的集中力．各种单元 模拟计算出的微悬臂梁上端弯曲应力分别如图2 所示． 图2 微悬臂梁弯曲的网格及加载图 Fig．2 Grid and load for micro-beam bending 从图3可以看出没有考虑应变梯度的 C8数 值误差比较大而 EMSG 和 TNT8有很好的吻合 性具有更高的精度． 图3 微悬臂梁弯曲应力比较 Fig．3 Stress contrast for micro-beam bending 3 结论 （1） 本文将非协调有限元模式和基于细观机制 应变梯度理论结合起来把非局部的应变梯度通过 围绕高斯点的胞元积分而加入到本构方程中．通过 这种方法发展了一种基于细观机制应变梯度理论 的非协调有限元程序（EMSG）．为验证 EMSG 的性 能对微尺度悬臂梁进行了模拟计算． （2） EMSG 对微观悬臂梁弯曲数值计算结果 与实验数据相吻合．在同等条件下、相同应变时厚 度小的结构的应力反而大；这是因为厚度小的结构 产生的应变梯度较大从而使最终应力较大． （3） 在与其他单元的模拟对比的结果显示 EMSG 作为一种四节点单元在对微尺度结构进行 分析时与基于细观机制应变梯度理论的等参八节 点单元数值比较吻合．在对微观结构进行模拟计算 时比常规单元有更好的精度． 第8期 陈章华等： 基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 ·809·