D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.08.020 第29卷第8期 北京科技大学学报 Vol.29 No.8 2007年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug:2007 基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 陈章华余顺利 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要采用基于应变梯度理论的假设应变有限元方法研究了微尺度梁弯曲的尺寸效应·在假设应变单元设计中，非局部的 应变梯度项通过围绕高斯点的胞元进行数值积分得到·在本构方程中引入等效应变梯度项，在积分本构方程时就可以反映材 料在微细变形时的尺寸效应：为了验证本方法的正确性，对微尺度下的悬臂梁进行了模拟计算.计算结果与已发表的实验结 果比较吻合，表明可以模拟出材料微细变形的尺寸效应，具有较好的计算精度 关键词假设应变有限元；应变梯度；尺度效应：微尺度梁 分类号TB115:0241.82 近年来，随着微型化产品需求的不断增加，具有 单元的柔性和收敛性 高精度的微机械制造方法日益重要，在材料尺寸为 1基于细观机制应变梯度理论的非协 几个微米直至几百个微米时，都出现显著的尺寸效 应，而传统的理论不能对此做出解释， 调有限元方法 如今有许多理论使用特征尺寸的概念来解释材 1.1基于细观机制的应变梯度本构理论 料的尺寸效应，Aifantis假设屈服应力依赖于塑性 最初应变梯度理论为了考虑旋转梯度的影响， 应变梯度，讨论了应变梯度塑性模型的不同模 加入了偶应力，但是这样导致了高阶边界条件的出 式[2].Fleck和Hutchinson3、Fleck等[]提出的 现，难于用常规有限元求解.Gao和Huang8]提出 模型也类似，局部四阶偏微分方程替代了常规的二 了基于Taylor非局部塑性的理论，此理论不用偶应 阶微分方程.Bassani等[G-7假设塑性应变梯度仅仅 力和相应的高阶边界条件，应变梯度通过在典型单 影响瞬时刚度，缺点是不能捕捉到边界层现象，Go 元的高斯点上进行胞元积分获得，有利于通用有限 和Huang⑧]基于Taylor非局部塑性的理论，提出了 元接口编程· 基于细观机制的应变梯度理论， 基于细观机制的应变梯度以Taylor位错模型 另一方面，传统常应变单元在不可压缩材料的 为基础，Nix和Gao从描述材料的抗剪强度和位错 弯曲和平面应变问题时没有表现出很好的精度.自 密度的Taylor关系出发给出： 20世纪70年代以来，许多研究者进行了大量的探 t=a4,=ad%R十Pe (1) 索，一种比较有效的方法是非协调单元.其中，Simo 其中，P为总体位错密度，？为统计位错密度，Pc 以及其他研究者)以三场变分原理为基础，提出了 为几何必需位错密度，H为切变模量，b为Burgers 增强假设应变模型(EASM),已经用于模拟线弹性 向量，a为经验常数（在0.2与0.5之间），按照von 和非线性问题10]，然而，这种单元在近似不可压缩 Mises屈服准则，拉伸流动应力可以表达为 时仍表现出自锁现象].目前，低阶四边形单元 =dNf(e)十m (2) 备受关注，因为它们在粗糙网格划分时仍然体现出 式中，为单轴拉伸的参考应力，e为正应变，l为 很好的精确性，特别是在以弯曲为主的情况下；而且 材料特征尺寸，？为等效应变梯度 这些单元在基于增强假设应变模式后，即使在近似 不可压缩材料时也不出现自锁现象，因此在通用有 l=18a2 b (3) 限元程序中更受欢迎，该方法主要是在单元内部附 等效应变梯度定义为： 加一个假设应变场，来增加单元自由度数，从而提高 =层 (4) 收稿日期：2006-01-04修回日期：2006-03-09 基金项目：留学回国人员科研启动基金(Na.20040600950) 其中，为偏应变梯度分量。在非局部连续性结构 作者简介：陈章华(1959一)，男，教授，博士生导师 中，作为非局部变量来处理：
基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 陈章华 余顺利 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 采用基于应变梯度理论的假设应变有限元方法研究了微尺度梁弯曲的尺寸效应．在假设应变单元设计中非局部的 应变梯度项通过围绕高斯点的胞元进行数值积分得到．在本构方程中引入等效应变梯度项在积分本构方程时就可以反映材 料在微细变形时的尺寸效应．为了验证本方法的正确性对微尺度下的悬臂梁进行了模拟计算．计算结果与已发表的实验结 果比较吻合表明可以模拟出材料微细变形的尺寸效应具有较好的计算精度． 关键词 假设应变有限元；应变梯度；尺度效应；微尺度梁 分类号 TB115；O241∙82 收稿日期：2006-01-04 修回日期：2006-03-09 基金项目：留学回国人员科研启动基金（No．20040600950） 作者简介：陈章华（1959—）男教授博士生导师 近年来随着微型化产品需求的不断增加具有 高精度的微机械制造方法日益重要．在材料尺寸为 几个微米直至几百个微米时都出现显著的尺寸效 应而传统的理论不能对此做出解释． 如今有许多理论使用特征尺寸的概念来解释材 料的尺寸效应．Aifantis 假设屈服应力依赖于塑性 应变梯度讨论了应变梯度塑性模型的不同模 式［1—2］．Fleck 和 Hutchinson ［3—4］、Fleck 等［5］提出的 模型也类似局部四阶偏微分方程替代了常规的二 阶微分方程．Bassani 等［6—7］假设塑性应变梯度仅仅 影响瞬时刚度缺点是不能捕捉到边界层现象．Gao 和 Huang ［8］基于 Taylor 非局部塑性的理论提出了 基于细观机制的应变梯度理论． 另一方面传统常应变单元在不可压缩材料的 弯曲和平面应变问题时没有表现出很好的精度．自 20世纪70年代以来许多研究者进行了大量的探 索一种比较有效的方法是非协调单元．其中Simo 以及其他研究者［9］以三场变分原理为基础提出了 增强假设应变模型（EASM）已经用于模拟线弹性 和非线性问题［10］．然而这种单元在近似不可压缩 时仍表现出自锁现象［11—12］．目前低阶四边形单元 备受关注因为它们在粗糙网格划分时仍然体现出 很好的精确性特别是在以弯曲为主的情况下；而且 这些单元在基于增强假设应变模式后即使在近似 不可压缩材料时也不出现自锁现象因此在通用有 限元程序中更受欢迎．该方法主要是在单元内部附 加一个假设应变场来增加单元自由度数从而提高 单元的柔性和收敛性． 1 基于细观机制应变梯度理论的非协 调有限元方法 1∙1 基于细观机制的应变梯度本构理论 最初应变梯度理论为了考虑旋转梯度的影响 加入了偶应力但是这样导致了高阶边界条件的出 现难于用常规有限元求解．Gao 和 Huang ［8］ 提出 了基于 Taylor 非局部塑性的理论此理论不用偶应 力和相应的高阶边界条件应变梯度通过在典型单 元的高斯点上进行胞元积分获得有利于通用有限 元接口编程． 基于细观机制的应变梯度以 Taylor 位错模型 为基础．Nix 和 Gao 从描述材料的抗剪强度和位错 密度的 Taylor 关系出发给出： τ＝αμb ρT＝αμb ρS＋ρG （1） 其中ρT 为总体位错密度ρS 为统计位错密度ρG 为几何必需位错密度μ为切变模量b 为 Burgers 向量α为经验常数（在0∙2与0∙5之间）．按照 von Mises 屈服准则拉伸流动应力可以表达为 σ＝σref f 2（ε）＋ lη （2） 式中σref为单轴拉伸的参考应力ε为正应变l 为 材料特征尺寸η为等效应变梯度． l＝18α2 μ σref 2 b （3） 等效应变梯度定义为： η＝ 1 4 η′ijk·η′ijk （4） 其中η′ijk为偏应变梯度分量．在非局部连续性结构 中作为非局部变量来处理： 第29卷 第8期 2007年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．8 Aug．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．08．020
·808 北京科技大学学报 第29卷 力矢量，展开表示为 fie"(de,a) ()sdv (5) Ja[B]a.W([B](dI+[G](oH)dv 其中，Il为胞元立方体的惯性矩，、、分别为 he(de.a)= 三个正交方向坐标值， 表示对整个胞元进行 Ja[C]aW([B](dI+[C](@H)dv 积分 号品av=2 (12) (6) 引入 其中，。为胞元长度，它是一个在计算胞元内应变 [c]=W([B]{d}+[G]{a4)(13) 梯度时控制精度的分辨率参数 各模量矩阵可以通过单元位移矢量及单元内变量矢 1.2增强假设应变有限元 量(d),)来表示： 增强假设应变方法在应变场中增加了一个增强 的应变场： [H]=J[CT[c][G]dv e=7“u十8 (7) (14) [r]=Ja[G][c(][B]dv 其中，7u为位移场的对称梯度，ε为应变场的增强 有限元程序工作步骤如下. 部分，增强应变场ε并不可以任意选取，为满足具 (1)在单元级别形成工作矩阵，并在迭代过程 有三个独立场的Hu一Vashizu广义变分原理，必须 中更新内变量)： 在单元内部先对应力场σ施加相对于增强假设应 (k) 变场ε的L2一正交化条件： [K][g]△d {f-f严 L[] H] △a 〈0,9L2= GEd V=0 (8) (15) 以满足分片实验和在单元内部消去作为独立变量的 +)=a-[H]-[T)]{△d)}-h&] 假设应力场，由能量泛函： (16) Π(u,e,o)=JgW,(e)dV+ (2)在单元级别通过静态凝聚消除内变量，形 成与内变量相关的内载荷向量及刚度矩阵： [V'u-8]dv-Gest (u)=0 (9) {f8)={f-[Hg)]1he) 其中，，￡，。分别为真实位移场，应变场和应力场， Gext(u)为外力虚功 [K=J[BT[C]([B]dv- (17) 由三个独立场的性质，对能量泛函变分，可以得 [r][H][] 到下面等效的三场变分方程： (3)根据组装形成的总刚度方程和载荷向量， 'u.:w(V 'u+8)dv-Gext=0 计算位移校正值： 0·dV=0 1△a+)=[K]-11R (18) {d(k+)={d()+{△d(k+) (19) E[-6+a:W(7 u+8)]dv=0 (4)如果没有收敛，则回到步骤(1)继续迭代. 1.3基于应变梯度理论的有限元程序 (10) 本文利用基于细观机制的应变梯度理论和增强 对以上变分方程进行离散化，可构造出有限元方程： 应变有限元方法，通过围绕高斯点的胞元积分可以 A[f(d,g)-{f8]=0 得到非局部的应变梯度项，进而得到如下的本构 (11) he(de)=0,e=1,2.....ndom 方程： 其中，A表示装配形成总刚度矩阵的有限元集合算 y=时十ud时/3 (20) 子，{f严{、{f分别为单元等效内力矢量和单元外 其中
η′ijk＝ 1 Ice∫ll V cell εikξj＋εjkεi—εiεj k— 1 4 （δikξj＋δjkξi）εpp d V （5） 其中Icell为胞元立方体的惯性矩ξi、ξj、ξk 分别为 三个正交方向坐标值∫V cell 表示对整个胞元进行 积分． Icell＝∫V cell ξ2 1d V ＝ 1 12 l 5 ε （6） 其中lε为胞元长度它是一个在计算胞元内应变 梯度时控制精度的分辨率参数． 1∙2 增强假设应变有限元 增强假设应变方法在应变场中增加了一个增强 的应变场： ε＝∇s u＋ε （7） 其中∇s u 为位移场的对称梯度ε为应变场的增强 部分．增强应变场 ε并不可以任意选取为满足具 有三个独立场的 Hu—Washizu 广义变分原理必须 在单元内部先对应力场 σ施加相对于增强假设应 变场ε的 L2—正交化条件： 〈σε〉L2＝∫σεd V ＝0 （8） 以满足分片实验和在单元内部消去作为独立变量的 假设应力场．由能量泛函： Π（ uεσ）＝∫β Ws（ε）d V ＋ ∫β σ［∇s u—ε］d V — Gext（ u）＝0 （9） 其中uεσ分别为真实位移场应变场和应力场 Gext（ u）为外力虚功． 由三个独立场的性质对能量泛函变分可以得 到下面等效的三场变分方程： ∫β ∇ s u·∂εW（∇ s u＋ε）d V － Gext ＝0 ∫β σ·εd V ＝0 ∫β ε［—σ＋∂εW（∇ s u＋ε）］d V ＝0 （10） 对以上变分方程进行离散化可构造出有限元方程： A n elem e＝1 ［｛f int e （ deαe）｝—｛f ext e ｝］＝0 ｛he（ deαe）｝＝0e＝12…nelem （11） 其中A 表示装配形成总刚度矩阵的有限元集合算 子｛f int e ｝、｛f ext e ｝分别为单元等效内力矢量和单元外 力矢量．展开表示为： ｛f int e （ deαe）｝＝ ∫βe ［ B］ T∂εW（［ B］｛de｝＋ ［ G］｛αe｝）d V ｛he（ deαe）｝＝ ∫βe ［ G］ T∂εW（［ B］｛de｝＋ ［ G］｛αe｝）d V （12） 引入 ［ C （ k） ］＝∂2 εεW（［ B］｛d （ k） e ｝＋［ G］｛α（ k） e ｝） （13） 各模量矩阵可以通过单元位移矢量及单元内变量矢 量（ d （ k） e α（ k） e ）来表示： ［ H （ k） e ］ ＝∫βe ［ G］ T ［ C （ k） ］ ［ G］d V ［Γ（ k） e ］ ＝∫βe ［ G］ T ［ C （ k） ］ ［ B］d V （14） 有限元程序工作步骤如下． （1） 在单元级别形成工作矩阵并在迭代过程 中更新内变量 α（ k） e ： ［ Ke ］ ［ΓT e ］ ［Γe ］ ［ He ］ （ k） Δde Δαe （ k） ＝ ｛f ext e ｝—｛f int e ｝ ｛he｝ （ k） （15） α（ k＋1） e ＝α（ k） e —［ H （ k） e ］ —1［ ［Γ（ k） e ］｛Δd （ k） e ｝—｛h （ k） e ｝］ （16） （2） 在单元级别通过静态凝聚消除内变量形 成与内变量相关的内载荷向量及刚度矩阵： ｛f int e ｝（ k） ＝｛f int e ｝（ k） － ［ H （ k） e ］ －1｛he｝（ k） ［ K int e ］ （ k） ＝∫βe ［ B］ T ［ C］ （ k） ［ B］d V － ［Γ（ k） e ］ ［ H （ k） e ］ －1［Γ（ k） e ］ （17） （3） 根据组装形成的总刚度方程和载荷向量 计算位移校正值： ｛Δd｝（ k＋1）＝［ K （ k） ］ —1｛R｝（ k） （18） ｛d｝（ k＋1）＝｛d｝（ k）＋｛Δd｝（ k＋1） （19） （4） 如果没有收敛则回到步骤（1）继续迭代． 1∙3 基于应变梯度理论的有限元程序 本文利用基于细观机制的应变梯度理论和增强 应变有限元方法通过围绕高斯点的胞元积分可以 得到非局部的应变梯度项进而得到如下的本构 方程： σij＝σ′ij＋σkkδij／3 （20） 其中 ·808· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第8期 陈章华等：基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 ,809 830MPa,材料特征尺寸I=7m 0u=3K陆，0时= 2G)2+ 进行单元划分时，在单元横向和纵向的划分数 (21) 分别为20和4，总单元数为80，如图2所示，在模型 其中，K为体积弹性模量 右端上下分别施加大小为1N的集中力，各种单元 2 模拟计算出的微悬臂梁上端弯曲应力分别如图2 所示 (22) 显然，当材料特征尺寸=0时，就是通常的小 变形弹性模型.根据以上的本构模型，发展了基于 细观机制应变梯度理论的非协调有限元程序 (EMSG). 2 um 2数值算例 图2微悬臂梁弯曲的网格及加载图 Fig.2 Grid and load for micro-beam bending 2.1与实验数据比较 为了验证EMSG的可行性，模拟了两个微悬臂 从图3可以看出，没有考虑应变梯度的C8数 梁模型，长为10m,高分别为0.5m和1m,材料 值误差比较大，而EMSG和TNT8有很好的吻合 常数为：杨氏模量E=150.0GPa,泊松比v=0.3, 性，具有更高的精度 参考应力om=1500MPa,材料特征尺寸l=7m 200 -*-EMSG 分别在悬臂梁的自由端施加集中力，将计算结果与 150F --TNT8 文献[13]的图9中线性部分的实验数据进行比较， --C8 结果如图1所示 100 400 504 300 0.5 1.0 15 2.0 梁上端表面x方向坐标μ仙m 20叶 -o-0.5μm实验值 一一0.5um计算值 图3微悬臂梁弯曲应力比较 100 -o一1.0m实验值 -▲一1.0μm计算值 Fig.3 Stress contrast for micro-beam bending 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 3 结论 应变 图1微悬臂梁应力应变图 (1)本文将非协调有限元模式和基于细观机制 Fig.1 Stress-strain behavior for micro-beam bending 应变梯度理论结合起来，把非局部的应变梯度通过 围绕高斯点的胞元积分而加入到本构方程中，通过 图1中数据显示，数值计算结果与实验数据比 这种方法，发展了一种基于细观机制应变梯度理论 较吻合，符合同样的应变时厚度小的应力反而大的 的非协调有限元程序(EMSG)·为验证EMSG的性 趋势. 能，对微尺度悬臂梁进行了模拟计算 2.2不同单元的数值比较 (2)EMSG对微观悬臂梁弯曲数值计算，结果 为了检验本文所提的基于应变梯度理论的低阶 与实验数据相吻合，在同等条件下、相同应变时，厚 假设应变单元的计算可靠性，与常规的等参八节点 度小的结构的应力反而大；这是因为厚度小的结构 单元(C8)基于细观机制应变梯度理论的等参八节 产生的应变梯度较大，从而使最终应力较大， 点单元(TNT8)进行数值比较，具体对象为微观悬 (③)在与其他单元的模拟对比的结果显示， 臂梁的弹性弯曲 EMSG作为一种四节点单元，在对微尺度结构进行 建立一个长为2m,高为0.4m的二维模型来 分析时，与基于细观机制应变梯度理论的等参八节 模拟微观悬臂梁.材料常数为：杨氏模量E= 点单元数值比较吻合，在对微观结构进行模拟计算 120.0GPa,泊松比v=0.3,参考应力od= 时，比常规单元有更好的精度
σkk＝3Kεkkσ′ij＝ （2G） 2＋ 2 3 2σ2 ref lη ε2 ε′ij （21） 其中K 为体积弹性模量． ε＝ 2 3 ε′iεj′ijε′ij＝εij— 1 3 δiεj ppεij＝ 1 2 （ uij＋ uji） （22） 显然当材料特征尺寸 l＝0时就是通常的小 变形弹性模型．根据以上的本构模型发展了基于 细 观 机 制 应 变 梯 度 理 论 的 非 协 调 有 限 元 程 序 （EMSG）． 2 数值算例 2∙1 与实验数据比较 为了验证 EMSG 的可行性模拟了两个微悬臂 梁模型长为10μm高分别为0∙5μm 和1μm材料 常数为：杨氏模量 E＝150∙0GPa泊松比 ν＝0∙3 参考应力 σref＝1500MPa材料特征尺寸 l＝7μm． 分别在悬臂梁的自由端施加集中力将计算结果与 文献［13］的图9中线性部分的实验数据进行比较 结果如图1所示． 图1 微悬臂梁应力应变图 Fig．1 Stress-strain behavior for micro-beam bending 图1中数据显示数值计算结果与实验数据比 较吻合符合同样的应变时厚度小的应力反而大的 趋势． 2∙2 不同单元的数值比较 为了检验本文所提的基于应变梯度理论的低阶 假设应变单元的计算可靠性与常规的等参八节点 单元（C8）基于细观机制应变梯度理论的等参八节 点单元（TNT8）进行数值比较具体对象为微观悬 臂梁的弹性弯曲． 建立一个长为2μm高为0∙4μm 的二维模型来 模拟微观悬臂梁．材料常数为：杨氏模量 E ＝ 120∙0GPa泊 松 比 ν＝0∙3参 考 应 力 σref ＝ 830MPa材料特征尺寸 l＝7μm． 进行单元划分时在单元横向和纵向的划分数 分别为20和4总单元数为80如图2所示在模型 右端上下分别施加大小为1N 的集中力．各种单元 模拟计算出的微悬臂梁上端弯曲应力分别如图2 所示． 图2 微悬臂梁弯曲的网格及加载图 Fig．2 Grid and load for micro-beam bending 从图3可以看出没有考虑应变梯度的 C8数 值误差比较大而 EMSG 和 TNT8有很好的吻合 性具有更高的精度． 图3 微悬臂梁弯曲应力比较 Fig．3 Stress contrast for micro-beam bending 3 结论 （1） 本文将非协调有限元模式和基于细观机制 应变梯度理论结合起来把非局部的应变梯度通过 围绕高斯点的胞元积分而加入到本构方程中．通过 这种方法发展了一种基于细观机制应变梯度理论 的非协调有限元程序（EMSG）．为验证 EMSG 的性 能对微尺度悬臂梁进行了模拟计算． （2） EMSG 对微观悬臂梁弯曲数值计算结果 与实验数据相吻合．在同等条件下、相同应变时厚 度小的结构的应力反而大；这是因为厚度小的结构 产生的应变梯度较大从而使最终应力较大． （3） 在与其他单元的模拟对比的结果显示 EMSG 作为一种四节点单元在对微尺度结构进行 分析时与基于细观机制应变梯度理论的等参八节 点单元数值比较吻合．在对微观结构进行模拟计算 时比常规单元有更好的精度． 第8期 陈章华等： 基于应变梯度理论的假设应变有限元方法 ·809·
,810 北京科技大学学报 第29卷 参考文献 cation predictions.Int J Solids Struct.2001.38.833 [8]Gao HJ.Huang Y G.Taylor-based nonlocal theory of plasticity. [1]Aifantis EC.On the role of gradients in the localization of defor- mation and fracture.Int J Eng Sci.1992.30:1279 Int J Solids Struct.2001.38:2615 [2]Aifantis EC.Strain gradient interpretation of size effects.Int J [9]Simo JC.Rifa MS.A class of mixed assumed strain methods and Fract,1999,95:299 the method of incompatible modes.Int J Numer Methods Eng. 1990,29:1595 [3]Fleck N A,Hutchinson J W.A phenomenological theory for strain gradient effects in plasticity.J Mech Phys Solids.1993. [10]陈章华，刘洪波，马文江·增强假设变形梯度有限元方法稳定 41,837 性计算.北京科技大学学报，2005,27(5)：556 [4]Fleck N A,Hutchinson J W.Strain gradient plasticity.Adv Appl [11]Glaser S,Armero F.On the formulation of enhanced strain fi- Mch,1997,33:295 nite elements in finite deformations.Eng Comput,1997,14; 759 [5]Fleck N A.Muller G M.Ashby M F,et al.Strain gradient plas- ticity:theory and experiment.Acta Metall Master,1994.42: [12]Chen Z H.Lee T C.Tang C Y.Numerical simulation of a sheet 475 metal extrusion process by using thermal-mechanical coupling [6]Bassani JL.Incompatibility and a simple gradient theory of plas EAS FEM.J Univ Sci Technol Beijing.2002.19:378 ticity.J Mech Phys Solids.2001,49:1983 [13]Florando J N.Nix W D.A microbeam bending method for [7]Bassani JL.Needleman A.van der Giessen E.Plastic flow in a studying stress"strain relations for metal thin films on silicon for substrates.J Mech Phys Solids.2005,53.619 composite:a comparison of nonlocal continuum and discrete dislo- Assumed strain finite element method based on the theory of strain gradient CHEN Zhanghua,YU Shunli Applied Science School,University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China ABSTRACI An assumed strain finite element method based on the theory of strain gradient was proposed to explore the size effect that frequently exhibited in micro-beam bending.In element design,strain gradient terms were obtained by using numerical integration of a cell constructing around a Gaussian point.An equivalent strain gradient term was incorporated into the constitutive model to reflect the effect of highly localized inhomogeneous deformation.In this way,an assumed strain finite element method program was developed.To validate the per- formance of the proposed method,a numerical simulation of micro-beam bending was carried out.Numerical re- sults show a good agreement with the reported experimental data.It is concluded that the proposed approach is of good capability to reflect the response of microstructure. KEY WORDS assumed strain finite element method;strain gradient;scale effect;micro-beam
参 考 文 献 ［1］ Aifantis E C．On the role of gradients in the localization of deformation and fracture．Int J Eng Sci199230：1279 ［2］ Aifantis E C．Strain gradient interpretation of size effects．Int J Fract199995：299 ［3］ Fleck N AHutchinson J W．A phenomenological theory for strain gradient effects in plasticity．J Mech Phys Solids1993 41：837 ［4］ Fleck N AHutchinson J W．Strain gradient plasticity．Adv Appl Mech199733：295 ［5］ Fleck N AMuller G MAshby M Fet al．Strain gradient plasticity：theory and experiment．Acta Metall Master199442： 475 ［6］ Bassani J L．Incompatibility and a simple gradient theory of plasticity．J Mech Phys Solids200149：1983 ［7］ Bassani J LNeedleman Avan der Giessen E．Plastic flow in a composite：a comparison of nonlocal continuum and discrete dislocation predictions．Int J Solids Struct200138：833 ［8］ Gao H JHuang Y G．Taylor-based nonlocal theory of plasticity． Int J Solids Struct200138：2615 ［9］ Simo J CRifa M S．A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes．Int J Numer Methods Eng 199029：1595 ［10］ 陈章华刘洪波马文江．增强假设变形梯度有限元方法稳定 性计算．北京科技大学学报200527（5）：556 ［11］ Glaser SArmero F．On the formulation of enhanced strain finite elements in finite deformations．Eng Comput199714： 759 ［12］ Chen Z HLee T CTang C Y．Numerical simulation of a sheet metal extrusion process by using therma-l mechanical coupling EAS FEM．J Univ Sci Technol Beijing200219：378 ［13］ Florando J NNix W D．A microbeam bending method for studying stress-strain relations for metal thin films on silicon for substrates．J Mech Phys Solids200553：619 Assumed strain finite element method based on the theory of strain gradient CHEN ZhanghuaY U Shunli Applied Science SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT An assumed strain finite element method based on the theory of strain gradient was proposed to explore the size effect that frequently exhibited in micro-beam bending．In element designstrain gradient terms were obtained by using numerical integration of a cell constructing around a Gaussian point．An equivalent strain gradient term was incorporated into the constitutive model to reflect the effect of highly localized inhomogeneous deformation．In this wayan assumed strain finite element method program was developed．To validate the performance of the proposed methoda numerical simulation of micro-beam bending was carried out．Numerical results show a good agreement with the reported experimental data．It is concluded that the proposed approach is of good capability to reflect the response of microstructure． KEY WORDS assumed strain finite element method；strain gradient；scale effect；micro-beam ·810· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷