D0I:10.13374/1.issnl00103.2009.07.036 第31卷第7期 北京科技大学学报 Vol.31 No.7 2009年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jd.2009 多流中间包流动特征的数学模型 潘宏伟程树森 北京科技大学治金与生态工程学院，北京100083 摘要提出了针对多流中间包流动特征的数学模型，给出了绘制停留时间分布(RTD)曲线的标准及其相关计算的规范：明 确了“死区“的特性，并计算了其体积分数；模型中考虑到了短路流，指出计算短路流的方法·模型可以更好地刻画活塞流的流 动特性 关键词中间包：停留时间分布：短路流：死区：水模型：数值模拟 分类号TF777.2 Mathematical model of flow characterization in multi-strand continuous casting tundishes PAN Hong"wei,CHENG Shu-sen School of Metallurgical and Ecological Engineering University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT A mathematical model of flow characterization in multi-strand continuous casting tundishes was attempted to put for- ward,the standard of plotting residual time distribution (RTD)curves was definitely presented and a relative calculation method was proposed.The feature of dead region was carefully studied and a method to calculate its volume fraction was given in the model. What's more,the model considers bypass flow and proposes a method to calculate its volume fraction.Experimental results show that this new model can better capture the difference between the reality flow pattern and the ideal plug flow pattern and reflects the fea- ture of plug flow· KEY WORDS tundish:residual time distribution (RTD):bypass flow dead region:water model:mathematical simulation 中间包是连续操作的反应器，也是高质量钢材 1O0%.文献[9]在Sahai提出的模型基础上，将单流 生产流程中关键一环可].按流动方式的不同，中 中间包的数学模型引用到多流中间包，除此之外， 间包内可分为短路流区、活塞流区、返混流区和死 多流中间包流动特征的数学模型研究很少见到报 区，四个区域的体积分数反映了中间包内的流动特 道。经过仔细分析，发现现有数学模型仍存在亟待 征，本文研究中间包流动特征的数学模型的目的就 完善之处：①模型中没有提出与之紧密相关的停留 是要建立合理的数学表达式，根据表达式计算出中 时间分布(RTD)曲线的绘制标准，使冶金工作者在 间包内各区域的体积分数.Sahai在文献[G-7]提出 这一问题上认识不统一；②模型中没有涉及短路流， 了基于单流中间包的流动特征数学模型：此后国内 而短路流显著影响着中间包治金工艺：③在计算死 外治金工作者常常借用该模型计算多流中间包问 区体积分数时将死区视为绝对的静止，这不符合实 题，但计算结果不尽如人意，各流股对应的相同区域际情况，在一些情况下利用Saai的模型计算得到 体积分数之和往往偏大，甚至大于100%，这是不符 死区的体积分数为负，文献[10]中对此进行了陈述； 合实际情况的，且流股越多，和的数值越大，如文献 ④模型不能全面体现活塞流的流动特性，因此，进 [8]中各流股对应的返混区体积分数之和大于 一步研究多流中间包流动特征的数学模型，完善多 收稿日期：2008-07-31 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.60872147) 作者简介：潘宏伟(1984-)，男，博士研究生，E mail:pan5025@163.com:程树森(1964一)，男，教授，博士生导师
多流中间包流动特征的数学模型 潘宏伟 程树森 北京科技大学冶金与生态工程学院北京100083 摘 要 提出了针对多流中间包流动特征的数学模型给出了绘制停留时间分布（RTD）曲线的标准及其相关计算的规范；明 确了“死区”的特性并计算了其体积分数；模型中考虑到了短路流指出计算短路流的方法．模型可以更好地刻画活塞流的流 动特性． 关键词 中间包；停留时间分布；短路流；死区；水模型；数值模拟 分类号 TF777∙2 Mathematical model of flow characterization in mult-i strand continuous casting tundishes PA N Hong-weiCHENG Shu-sen School of Metallurgical and Ecological EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A mathematical model of flow characterization in mult-i strand continuous casting tundishes was attempted to put forwardthe standard of plotting residual time distribution （RTD） curves was definitely presented and a relative calculation method was proposed．T he feature of dead region was carefully studied and a method to calculate its volume fraction was given in the model． What’s morethe model considers bypass flow and proposes a method to calculate its volume fraction．Experimental results show that this new model can better capture the difference between the reality flow pattern and the ideal plug flow pattern and reflects the feature of plug flow． KEY WORDS tundish；residual time distribution （RTD）；bypass flow；dead region；water model；mathematical simulation 收稿日期：2008-07-31 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60872147） 作者简介：潘宏伟（1984—）男博士研究生E-mail：pan5025＠163．com；程树森（1964—）男教授博士生导师 中间包是连续操作的反应器也是高质量钢材 生产流程中关键一环［1—5］．按流动方式的不同中 间包内可分为短路流区、活塞流区、返混流区和死 区．四个区域的体积分数反映了中间包内的流动特 征．本文研究中间包流动特征的数学模型的目的就 是要建立合理的数学表达式根据表达式计算出中 间包内各区域的体积分数．Sahai 在文献［6—7］提出 了基于单流中间包的流动特征数学模型；此后国内 外冶金工作者常常借用该模型计算多流中间包问 题但计算结果不尽如人意各流股对应的相同区域 体积分数之和往往偏大甚至大于100％这是不符 合实际情况的且流股越多和的数值越大如文献 ［8］ 中各流股对应的返混区体积分数之和大于 100％．文献［9］在 Sahai 提出的模型基础上将单流 中间包的数学模型引用到多流中间包．除此之外 多流中间包流动特征的数学模型研究很少见到报 道．经过仔细分析发现现有数学模型仍存在亟待 完善之处：①模型中没有提出与之紧密相关的停留 时间分布（RTD）曲线的绘制标准使冶金工作者在 这一问题上认识不统一；②模型中没有涉及短路流 而短路流显著影响着中间包冶金工艺；③在计算死 区体积分数时将死区视为绝对的静止这不符合实 际情况在一些情况下利用 Sahai 的模型计算得到 死区的体积分数为负文献［10］中对此进行了陈述； ④模型不能全面体现活塞流的流动特性．因此进 一步研究多流中间包流动特征的数学模型完善多 第31卷 第7期 2009年 7月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．7 Jul．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．07．036
,816 北京科技大学学报 第31卷 流中间包内各区域体积分数的计算十分必要， 1200 820 1水模型实验 直接对高温下的钢液流场进行测量十分困难， 而用水模型来模拟钢液流动被证明是可行的，并能 中部水口边部水口 够正确反映实际钢液流动的规律.根据相似理论， 1990200 980 当中间包内钢液流动与模型中流体流动处于同一自 2240 5860 模化区时，只要保证原型和模型的F相等，就可保 证模型和原型的相似，所以模型采用F,准数做定 图1中间包几何尺寸示意图（单位：mm) 性准则，根据Fr准数相等可以得到Fr。=Frm;即 Fig.I Schematic diagram of a tundish (in mm) 中间包控流参数的优劣，本次水模型实验示踪剂采 上-正取比例因子=乞= 。3则有： 用饱和的KC溶液，用电导仪测量中间包出水口的 Vm=JλV。=0.577Vp, 电压随时间变化曲线，由于中间包左、右两侧对称， 实验中仅需测得中间包右半部分的出水口电压随时 Qm=λ2Qp=0.06415Qp 间的变化，如图2所示.引用单流中间包流动特征 式中，Vp和Vm分别为原型和模型的拉速，Frp和 的数学模型计算出死区体积，结果如表1所示，从计 Frm分别为原型和模型的弗劳德准数 算结果中可以看出，该中间包右侧两流股（中部和边 基于以上分析以及板坯连铸中间包的实际尺 部)的死区体积分数之和大致为30%~54%，如果 寸，按模型与实物1：3的比例制作了有机玻璃材质 将中间包左、右两侧各流股视为对称，整个中间包内 的模型.中间包原形状和尺寸如图1所示， 各流股对应的死区体积分数之和将为60%~ 在水模型实验中，利用“刺激一响应”法来测量 108%,表明一大半的中间包处于“死寂”状态，这在 注入的示踪剂在中间包模型内的停留时间分布曲 实际中是不可能的，死区体积超过100%更加是不 线，定量地描述中间包内总体的流动特性，最终评价 可能的 16 20 (b) 12 10 200 400 60080010001200 200 400 60080010001200 时间s 时间s 图2水模型实验电压随时间变化结果()中部水口电压变化：(b)边部水口电压变化 Fig2 Water model experimental resu for time varied voltage:(a)time varied volage for the inner strand:(b)time varied voltage for the outer strand 表1不同入口速度条件下水模型计算结果 模型引用到多流中间包后，计算出的死区体积分数 Table 1 Calculation results for different speeds at entrance in water 明显偏大，各流对应的体积分数之和甚至超过 model experiment 100%,明显不符合实际情况 0/ 水口 类别 Lmin/s 7ls t/s (mmi凸位置 /% 2数值模拟结果分析 中部 39 499.6 558.6 10.6 优化后 0.85 边部 40 449.9 558.6 19.5 针对某厂另外两种不同设计理念的中间包进行 中部 36 407 478.5 14.9 了数值模拟，分别命名为1#中间包和2#中间包 优化后 1.0 边部 40 407.1478.5 14.9 为减小数值模拟计算量并便于与水模型相互验证， 中部 14 374.9558.6 32.9 数值模拟中中间包尺寸为原模型的1/3，流体为水. 原型 0.85 边部 75 437.3558.621.7 常用的微分方程和边界条件广泛见于各类文献，不 再赘述，本文着重讨论计算结果， 由此可见，直接将单流中间包流动特征的数学 图3(a)描述了1中间包流场中的流线（顶部
流中间包内各区域体积分数的计算十分必要． 1 水模型实验 直接对高温下的钢液流场进行测量十分困难 而用水模型来模拟钢液流动被证明是可行的并能 够正确反映实际钢液流动的规律．根据相似理论 当中间包内钢液流动与模型中流体流动处于同一自 模化区时只要保证原型和模型的 Fr 相等就可保 证模型和原型的相似．所以模型采用 Fr 准数做定 性准则．根据 Fr 准数相等可以得到 Frp＝ Frm；即 V 2 p gLp ＝ V 2 m gL m ；取比例因子 λ＝ L m Lp ＝ 1 3 ；则有： V m＝ λV p＝0∙577V p Qm＝λ 5 2 QP＝0∙06415QP． 式中V p 和 V m 分别为原型和模型的拉速Frp 和 Frm 分别为原型和模型的弗劳德准数． 基于以上分析以及板坯连铸中间包的实际尺 寸按模型与实物1∶3的比例制作了有机玻璃材质 的模型．中间包原形状和尺寸如图1所示． 在水模型实验中利用“刺激—响应”法来测量 注入的示踪剂在中间包模型内的停留时间分布曲 线定量地描述中间包内总体的流动特性最终评价 图1 中间包几何尺寸示意图（单位：mm） Fig．1 Schematic diagram of a tundish （in mm） 中间包控流参数的优劣．本次水模型实验示踪剂采 用饱和的 KCl 溶液．用电导仪测量中间包出水口的 电压随时间变化曲线．由于中间包左、右两侧对称 实验中仅需测得中间包右半部分的出水口电压随时 间的变化如图2所示．引用单流中间包流动特征 的数学模型计算出死区体积结果如表1所示从计 算结果中可以看出该中间包右侧两流股（中部和边 部）的死区体积分数之和大致为30％～54％如果 将中间包左、右两侧各流股视为对称整个中间包内 各流股对应的死区体积 分 数 之 和 将 为 60％ ～ 108％表明一大半的中间包处于“死寂”状态这在 实际中是不可能的死区体积超过100％更加是不 可能的． 图2 水模型实验电压随时间变化结果．（a）中部水口电压变化；（b）边部水口电压变化 Fig．2 Water-model experimental results for time-varied voltage：（a） time-varied voltage for the inner strand；（b） time-varied voltage for the outer strand 表1 不同入口速度条件下水模型计算结果 Table1 Calculation results for different speeds at entrance in watermodel experiment 类别 v／ （m·min —1） 水口 位置 tmin／s t／s τ／s V d V ／％ 优化后 0．85 中部 39 499．6 558．6 10．6 边部 40 449．9 558．6 19．5 优化后 1．0 中部 36 407 478．5 14．9 边部 40 407．1 478．5 14．9 原型 0．85 中部 14 374．9 558．6 32．9 边部 75 437．3 558．6 21．7 由此可见直接将单流中间包流动特征的数学 模型引用到多流中间包后计算出的死区体积分数 明显偏大各流对应的体积分数之和甚至超过 100％明显不符合实际情况． 2 数值模拟结果分析 针对某厂另外两种不同设计理念的中间包进行 了数值模拟分别命名为1＃ 中间包和2＃ 中间包． 为减小数值模拟计算量并便于与水模型相互验证 数值模拟中中间包尺寸为原模型的1／3流体为水． 常用的微分方程和边界条件广泛见于各类文献不 再赘述本文着重讨论计算结果． 图3（a）描述了1＃ 中间包流场中的流线（顶部 ·816· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第7期 潘宏伟等：多流中间包流动特征的数学模型 ,817 视角)从中可以看到，流体流出挡墙上的溢流孔 图4(a)描述了2#中间包内流线图（前方视 后，左、右两侧各产生了一大一小两个漩涡.图3(b) 角)·从中可以看到，流体流出溢流孔后，斜向上流 是流体穿过溢流孔水平面的速度矢量图，箭头方向 动，再沿着上部的自由液面流动，然后向下流向出 表示速度方向，箭头长度表示其大小，就该图来看， 口，是一种强烈的活塞流流动趋势，图4(b)显示其 中间包内并无大面积死区，存在较大范围的返混区， 穿过溢流孔后的水平速度场，该图显示整体流动比 (a) 浸人式 (b) 挡墙上的 0.0093m+s 入口 挡墙上的 溢流孔 溢流孔 第1流出口 第2流出口 第3流出口第4流出口 图31°中间包内流线示意图()和穿过溢流孔水平速度矢量图(b) Fig.3 Schematic diagram of streamlines in Tundish No.1(a)and velocity field at the horizontal plane through the spout hole (b) a 挡墙 一浸人式水口 (b) 挡墙上的 0.0093m.s ,导流杯 滋流孔 第1流出口第2流出口第3流出口第4流出口 图42中间包内流线示意图(a)和穿过溢流孔水平速度失量图(b) Fig.4 Schematic diagram of streamlines for Tundish No.2 (a)and velocity field at the horizontal plane through the spout hole No.2 (b) 较均匀，没有明显死区， 算结果如图5和表2所示.从中可以看到两个缺 鉴于上述两种中间包的对称性，仅讨论中间包 点：其一，2#中间包内死区体积分数计算结果出现 的右半部分，即第3流（靠近中部）和第4流（靠近边 负值（一3.6%），在实际中这是不可能的；其二，各流 部) 对应的返混区体积分数之和超过100%，这也是不 200 合理的 ☑☑☑1'中间包 160 因2”中间包 表21产和2*中间包内各区域体积分数计算结果 Table 2 Calculation results of different regions'volume fraction for 20 第3流对应的死区 Tundishes No.I and No.2 体积分数的计算结果 为负值，导致第3流 中间包 体积分数 第3流 第4流 总计 80 和第4流死区体积 分数之和几乎为零 Valv 2.35 1.49 3.8 1*中间包 Vi/v 79.3 80.4 159.7 VV 18.3 18.1 36.4 V/V Valv -3.6 3.62 0.02 2*中间包 Vi/v 77.6 73.6 151.1 图51*和2#中间包内各区域体积分数柱状图 V/V 26.1 22.8 48.9 Fig.5 Histogram of different regions'volume fraction for both Tundishes No.I and No.2 另外，根据Sahail提出的数学模型中假设死区 如果直接引用Sahai提出的单流中间包数学模 是绝对静止的，则中间包实际有效容积为V一V, 型来计算此多流中间包内各区域的体积分数，其计 进而可得：
视角）．从中可以看到流体流出挡墙上的溢流孔 后左、右两侧各产生了一大一小两个漩涡．图3（b） 是流体穿过溢流孔水平面的速度矢量图箭头方向 表示速度方向箭头长度表示其大小．就该图来看 中间包内并无大面积死区存在较大范围的返混区． 图4（a）描述了2＃ 中间包内流线图（前方视 角）．从中可以看到流体流出溢流孔后斜向上流 动再沿着上部的自由液面流动然后向下流向出 口是一种强烈的活塞流流动趋势．图4（b）显示其 穿过溢流孔后的水平速度场该图显示整体流动比 图3 1＃中间包内流线示意图（a）和穿过溢流孔水平速度矢量图（b） Fig．3 Schematic diagram of streamlines in Tundish No．1（a） and velocity field at the horizontal plane through the spout hole （b） 图4 2＃中间包内流线示意图（a）和穿过溢流孔水平速度矢量图（b） Fig．4 Schematic diagram of streamlines for Tundish No．2（a） and velocity field at the horizontal plane through the spout hole No．2（b） 较均匀没有明显死区． 鉴于上述两种中间包的对称性仅讨论中间包 的右半部分即第3流（靠近中部）和第4流（靠近边 部）． 图5 1＃和2＃中间包内各区域体积分数柱状图 Fig．5 Histogram of different regions’volume fraction for both Tundishes No．1and No．2 如果直接引用 Sahai 提出的单流中间包数学模 型来计算此多流中间包内各区域的体积分数其计 算结果如图5和表2所示．从中可以看到两个缺 点：其一2＃中间包内死区体积分数计算结果出现 负值（—3∙6％）在实际中这是不可能的；其二各流 对应的返混区体积分数之和超过100％这也是不 合理的． 表2 1＃和2＃中间包内各区域体积分数计算结果 Table2 Calculation results of different regions’volume fraction for Tundishes No．1and No．2 中间包 体积分数 第3流 第4流 总计 V d／V 2∙35 1∙49 3∙8 1＃中间包 V ba／V 79∙3 80∙4 159∙7 V p／V 18∙3 18∙1 36∙4 V d／V —3∙6 3∙62 0∙02 2＃中间包 V ba／V 77∙6 73∙6 151∙1 V p／V 26∙1 22∙8 48∙9 另外根据 Sahai ［7］提出的数学模型中假设死区 是绝对静止的则中间包实际有效容积为 V — V d 进而可得： 第7期 潘宏伟等： 多流中间包流动特征的数学模型 ·817·
,818 北京科技大学学报 第31卷 0.=vo,0'=0-0m 数输入，其输入总量为： v/Q M=Qco△t'. 模型中也不考虑短路流，则： 式中，M为示踪剂在入口的输入总量；c0为示踪剂 Q=0,Q'=Q 输入浓度；△t为示踪剂注入时间，为满足6函数， 所以在文献[7]中得到死区的体积分数为： 相对整个计算时间该值应该非常小；Q为流体在入 1-0=1-w-ya/0=ya v/Q 口的体积流量， V 反应器 但是，在实际冶金过程中，死区的定义是一个相对的 死区 概念：超过平均停留时间2倍以上的区域，并不是绝 人口 出口 对静止的.因而，中间包实际有效容积并不能等效 流体 活塞区 返混区 为V一Va,文献[7]中计算死区的体积分数也就不 短路流 合理， 综上所述，水模型实验和数值模拟结果均显示， 采用Sahai的针对单流的数学模型来计算多流中间 图6本文模型示意图 包内各区域体积分数存在不足，因而利用其结果指 Fig.6 Schematic diagram of the proposed model 导多流中间包优化设计和多流中间包冶金是不可靠 示踪剂在中间包出口的输出总量为： 的 w= Qici(ti)dt 3提出新模型 根据质量守恒，总的输出量等于总的输入量： 一个合理的计算模型应该计算得到合理的计算 Qa(a=oaai 结果，并且能够捕捉到不同流动方式之间的显著差 异 对于多流中间包，Q:为每一流对应的流量，为 方差。常用于计算一组数据的离散度，也就可 便于讨论，本文假设各流流量均相等（如果各流流量 以衡量停留时间分布曲线上数据的离散程度，结合 不相等则代入实际流量)，示踪剂注入浓度c0等于 中间包RTD曲线，方差表示如下： 1,示踪剂注入时间△t等于1s·归一化后可以得到 般的量纲1形式，离散后得： =J0(4一)'E()d= 0(9-1(9a0=6所E(9a0-1, 22(9a=1. g=6/x, =2 △0=△t/t, =1 该方差可以描述实际流动模式与理想的活塞流 E(91=.00s-a(9p) Qco△t 动之间的偏差.当流动模式仅仅呈现出理想活塞流 t=V/Q: 时，方差取最小值0：当流动呈现完全混合流时（完 全混合流动是最大程度的返混流动，返混区域在化 [6a 学反应工程学中定义为：包含不同停留时间流体的 此处，系数α应该引起关注，它是由测量误差 区域)，方差将达到最大值1；当流动模式中存在短 或计算误差引起的，通常在实验过程中，可以检测 路流区、死区或部分返混区时，方差的取值将在0和 某一点的浓度，但是基于质量守恒方程计算流出的 1之间，返混区越大，RTD曲线越平展，方差取值越 示踪剂总量时，需要出口平面上的平均浓度.因此， 大 根据检测到的点浓度，需要通过α系数等效成出口 当前并没有明确的针对多流中间包流动特征的 平面上的平均浓度， 数学模型，提出新模型需要考察多流中间包内活塞 如图7所示，如果E()在0达到某一个趋向 区、返混区、死区和短路流的特性，并规范停留时间 于0的数时，其值不为0，且达到一个较高的值后 分布(RTD)的相关计算，本文尝试提出多流中间包 突然下降，这表明存在短路流： 流动特征模型以供讨论，模型示意图如图6所示， -5以1af-0, 示踪剂在中间包入口的输入方式为近似δ函
θav＝ （ V — V d）／Q′ V／Q Q′＝ Q— Qby． 模型中也不考虑短路流则： Qby＝0Q′＝ Q． 所以在文献［7］中得到死区的体积分数为： 1—θav＝1— （ V — V d）／Q V／Q ＝ V d V ． 但是在实际冶金过程中死区的定义是一个相对的 概念：超过平均停留时间2倍以上的区域并不是绝 对静止的．因而中间包实际有效容积并不能等效 为 V — V d文献［7］中计算死区的体积分数也就不 合理． 综上所述水模型实验和数值模拟结果均显示 采用 Sahai 的针对单流的数学模型来计算多流中间 包内各区域体积分数存在不足因而利用其结果指 导多流中间包优化设计和多流中间包冶金是不可靠 的． 3 提出新模型 一个合理的计算模型应该计算得到合理的计算 结果并且能够捕捉到不同流动方式之间的显著差 异． 方差 σ2 常用于计算一组数据的离散度也就可 以衡量停留时间分布曲线上数据的离散程度结合 中间包 RTD 曲线方差表示如下： σ2 i＝∫ ∞ 0 （ tj—tj） 2E（ tj）d t＝ ∫ ∞ 0 （θj—1） 2E（θj）dθ＝∫ ∞ 0 θ2 jE（θj）dθ—1 σ2＝ ∑ n i＝1 σ2 i． 该方差可以描述实际流动模式与理想的活塞流 动之间的偏差．当流动模式仅仅呈现出理想活塞流 时方差取最小值0；当流动呈现完全混合流时（完 全混合流动是最大程度的返混流动返混区域在化 学反应工程学中定义为：包含不同停留时间流体的 区域）方差将达到最大值1；当流动模式中存在短 路流区、死区或部分返混区时方差的取值将在0和 1之间返混区越大RTD 曲线越平展方差取值越 大． 当前并没有明确的针对多流中间包流动特征的 数学模型提出新模型需要考察多流中间包内活塞 区、返混区、死区和短路流的特性并规范停留时间 分布（RTD）的相关计算．本文尝试提出多流中间包 流动特征模型以供讨论模型示意图如图6所示． 示踪剂在中间包入口的输入方式为近似 δ函 数输入其输入总量为： M＝ Qc0Δt′． 式中M 为示踪剂在入口的输入总量；c0 为示踪剂 输入浓度；Δt′为示踪剂注入时间为满足 δ函数 相对整个计算时间该值应该非常小；Q 为流体在入 口的体积流量． 图6 本文模型示意图 Fig．6 Schematic diagram of the proposed model 示踪剂在中间包出口的输出总量为： M＝∫ n∫1 ∞ 0 Qici（ tj）d t． 根据质量守恒总的输出量等于总的输入量： ∫ n∫1 ∞ 0 Qici（ tj）d t＝ Qc0Δt′ 对于多流中间包Qi 为每一流对应的流量．为 便于讨论本文假设各流流量均相等（如果各流流量 不相等则代入实际流量）示踪剂注入浓度 c0 等于 1示踪剂注入时间Δt′等于1s．归一化后可以得到 一般的量纲1形式离散后得： ∑ n i＝1 ∑ ∞ j＝0 ［ Ei（θj）Δθ］＝1 θj＝tj／τ Δθ＝Δt／τ Ei（θj）＝α （1／n） Qci（ tj）τ Qc0Δt′ ＝α 1 n τci（θτj ） τ＝ V／Q α＝c0Δt′ ∑ n i＝1 ∑ ∞ j＝0 1 n ci（ tj）Δt ． 此处系数 α应该引起关注它是由测量误差 或计算误差引起的．通常在实验过程中可以检测 某一点的浓度但是基于质量守恒方程计算流出的 示踪剂总量时需要出口平面上的平均浓度．因此 根据检测到的点浓度需要通过 α系数等效成出口 平面上的平均浓度． 如图7所示如果 E（θ）在 θ达到某一个趋向 于0的数θ′时其值不为0且达到一个较高的值后 突然下降这表明存在短路流： V byi V ＝∫ θ′ 0 Ei（θ）dθθ′→0 ·818· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第7期 潘宏伟等：多流中间包流动特征的数学模型 ,819 3.5 3.0 =-, 2.5 RTD曲线初始阶段，存在 a=之yad 2.0 一个迅速的急剧上升和一个 =1 15 并发的急剧下降过程，表明 根据质量守恒，可以得到活塞区的体积分数： 存在短路流 1.0 Vpi1 Vhai Vdi Vbyi VR VV 0.5 =2片 基于新的多流中间包流动特征的数学模型，根 图7E曲线上短路流示意图 据原有的数值模拟得到的数据，重新计算如图4所 Fig.7 Schematic diagram of the character of bypass flow in the E- 示中间包内各区域体积分数，如表3所示.计算结 curve 果显示：①1和2*中间包内不存在短路流；②新的 模型计算的死区体积分数为正值且数据比较合理， V 各区域体积分数之和为100%：③捕捉到了1#中间 0可以在I曲线上进行定义、I曲线描述的是， 包内强烈的返混特点和2中间包内强烈的活塞流 从0到0时间段内留在容器内的示踪剂分布函数， 流动趋势 可以表示如下： 为了验证数学模型的可靠性，对1#中间包和 I(0=1- E(0d0. 2#中间包分别进行了水模型实验·基于中间包流场 的对称性，水模型实验测得了中间包右侧第3流和 如图8所示，在0达到0以前有个急剧的初始 第4流出口电压随时间的变化曲线.由于出口电压 下降阶段，在【曲线上，急剧下降的线段长度就是 值是浓度的线性函数，为了便于利用本文模型，将出 短路流的体积分数 口电压值近似视为出口浓度进行数据处理，其误差 1.0 可利用本文模型中的修正系数α进行调整，处理结 /曲线上，急剧下降的 果如图9所示，这样既能保证水模型数据的真实 线段长度即是短路流 0.6 体积分数 性，又便于利用本文模型进行计算，中间包各区域的 体积分数计算结果如表3所示. 04 0.14 0.2 0.12 2”中间包 0.10 0.08 图8I曲线上短路流示意图 0.06 Fig.8 Schematie diagram of the character of bypass flow in the I- 0.04 1“中间包 curve 0.02 另外，根据死区的定义（流体的停留时间超过平 0.5 1.0 15 2 均停留时间2倍以上的区域)可得： -2a0, 图91云和2“中间包水模型实验结果对比 Fig.9 Water model experimental results for Tundishes No.I and va=vai No-2 V 台v 表3中的数据表明，对于2中间包，水模型实 此处，积分下限可以根据实际需求进行调整 验的计算结果与数值模拟的计算结果吻合较好，证 分析证实，死区和返混区使得实际流动形式在 实了本文模型的可靠性.但是，对于1中间包，水 偏离理想活塞流的过程中具有共性，通过上述计算 模型实验结果与数值模拟结果间有一定差异.其原 得到的死区体积分数，从而可以得到返混区的体积 因主要是：本文提出的数学模型基于质量守恒，要求 分数： 中间包各流RTD曲线下的积分面积之和为1；总体
图7 E 曲线上短路流示意图 Fig．7 Schematic diagram of the character of bypass flow in the Ecurve V by V ＝ ∑ n i＝1 V byi V ． θ′可以在 I 曲线上进行定义．I 曲线描述的是 从0到θ时间段内留在容器内的示踪剂分布函数 可以表示如下： I（θ）＝1—∫ θ 0 E（θ）dθ． 如图8所示在θ达到θ′以前有个急剧的初始 下降阶段在 I 曲线上急剧下降的线段长度就是 短路流的体积分数． 图8 I 曲线上短路流示意图 Fig．8 Schematic diagram of the character of bypass flow in the Icurve 另外根据死区的定义（流体的停留时间超过平 均停留时间2倍以上的区域）可得： V di V ＝∫ ∞ 2 Ei（θ）dθ V d V ＝ ∑ n i＝1 V di V ． 此处积分下限可以根据实际需求进行调整． 分析证实死区和返混区使得实际流动形式在 偏离理想活塞流的过程中具有共性．通过上述计算 得到的死区体积分数从而可以得到返混区的体积 分数： V bai V ＝σ2 i— V di V — V byi V V ba V ＝ ∑ n i＝1 V bai V ． 根据质量守恒可以得到活塞区的体积分数： V pi V ＝ 1 n — V bai V — V di V — V byi V V p V ＝ ∑ n i＝1 V pi V ． 基于新的多流中间包流动特征的数学模型根 据原有的数值模拟得到的数据重新计算如图4所 示中间包内各区域体积分数如表3所示．计算结 果显示：①1＃和2＃中间包内不存在短路流；②新的 模型计算的死区体积分数为正值且数据比较合理 各区域体积分数之和为100％；③捕捉到了1＃中间 包内强烈的返混特点和2＃中间包内强烈的活塞流 流动趋势． 为了验证数学模型的可靠性对1＃ 中间包和 2＃中间包分别进行了水模型实验．基于中间包流场 的对称性水模型实验测得了中间包右侧第3流和 第4流出口电压随时间的变化曲线．由于出口电压 值是浓度的线性函数为了便于利用本文模型将出 口电压值近似视为出口浓度进行数据处理其误差 可利用本文模型中的修正系数 α进行调整处理结 果如图9所示．这样既能保证水模型数据的真实 性又便于利用本文模型进行计算中间包各区域的 体积分数计算结果如表3所示． 图9 1＃和2＃中间包水模型实验结果对比 Fig．9 Water-model experimental results for Tundishes No．1 and No．2 表3中的数据表明对于2＃中间包水模型实 验的计算结果与数值模拟的计算结果吻合较好证 实了本文模型的可靠性．但是对于1＃ 中间包水 模型实验结果与数值模拟结果间有一定差异．其原 因主要是：本文提出的数学模型基于质量守恒要求 中间包各流 RTD 曲线下的积分面积之和为1；总体 第7期 潘宏伟等： 多流中间包流动特征的数学模型 ·819·
,820 北京科技大学学报 第31卷 上，1#中间包RTD曲线位置较2#中间包RTD曲 (3)直接引用Sahai针对单流中间包流动特征 线位置稍低，如图9所示；水模型实验仅测得了从 的数学模型计算多流中间包的情况不合理，计算得 0=0至0=2.5时间段内的数据，得到的中间包各 到的各流对应的死区体积分数之和可能超过 流RTD曲线下对应的积分面积之和并不是精确等 100%,甚至是负值.利用针对单流中间包的数学模 于1，从而造成截断误差，因此，从质量守恒的角度 型指导多流中间包优化设计不可靠， 来讲，1中间包RTD曲线的截断误差大于2#中间 (4)本文提出的多流中间包流动特征数学模型 包RTD曲线的截断误差，导致了数学模型与水模型 中明确提出了绘制停留时间分布(RTD)曲线的规 计算结果间的差异.由于数学模拟能够更好地满足 范，能够区分实际流动方式与理想活塞流流动方式 质量守恒条件，因此，数值模拟的计算结果精度要高 的偏差；体现了死区的特性，提出了新的计算死区体 于水模型实验 积分数的方法，本文模型还考虑到了短路流的存 表3采用本文模型后1*和2*中间包计算结果 在，并提出了计算短路流体积分数的方法， Table 3 Calculation results for Tundishes No.1 and No-2 by the pro- posed model 符号表 1#中间包 2°中间包 c(t)一多流中间包第i流在时刻示踪剂出口平面中心 的浓度： 体积分数 数值模拟 水模型 数值模拟 水模型 计算结果计算结果计算结果计算结果 E:(9)一多流中间包第i流在日时刻的量纲1浓度； Vi/v 0 0 0 E()一RTD曲线上纵坐标所表示的量纲1浓度： Valv 10.9 16 9.9 10 Ems一RTD曲线上最大值： n一多流中间包内总的流数： Vi/V 52.6 54 45.1 46 Q,Q:一分别为入口体积流量、多流中间包每一个出口对 VIV 36.5 30 45.0 44 应的体积流量，m3g-1: 鉴于此，在利用水模型实验或数值模拟获得中 t 一时间，8 间包RTD曲线的过程中，为保证计算精度，必须尽 V一中间包体积，m3: 可能充分地考虑质量守恒条件：当RTD曲线非常接 八，y,,山一分别为多流中间包内每一流的 VVVV 近0轴时，才能考虑结束水模型实验或数值模拟计 短路流区、活塞区、返混区和死区的体积分数，%： 算，如图10所示，但这一点往往被众多冶金工作者 忽视，值得引起注意， 少女，十兰一分别为多流中间包内总的短路流区、 0.5 活塞区、返混区和死区的体积分数，%； a一修正系数： 6一量纲1时间： Omm一RTD曲线达到最大值的量纲1时间： 0min一示踪剂最小响应时间： 为了保正质量守任 2一方差 曲线的末期必须 十分接近0轴 τ一理论平均停留时间，t=V/Q. 4 参考文献 [WeiZ Y,Bao Y P,Liu J H.Orthogonal analysis of water model study on the optimization of flow control devices in a six"strand 图10RTD曲线示意图 Fig.10 Schematic diagram of the RTD curve tundish.JUniv Sci Technol Beijing.2007.14(2):118 [2]Cheng Z J.Cheng D Q.Cheng SS.et al.Numerical simulation of isothermal liquid steel flow field of tundish for slab caster in Jiu- 4结论 gang J Iron Steel Res,2008.20(2):60 (程子建，成东全，程树森，等酒钢板坯中间包等温流场的数值 (l)Sahai关于单流中间包流动特征的数学模 模拟.钢铁研究学报，2008,20(2)：60) 型不适合多流中间包，既没有考虑到短路流的情况， [3]Morales R D,Barreto J de J.Lopez Ramirez S,et al.Melt flow 也不能计算其体积分数， control in a multistrand tundish using a turbulence inhibitor.Met- (2)Sahai提出的模型在计算活塞流区域的体 all Meter Trans B.2000,31:1505 积分数过程中没有全面反映出活塞流的特性， (下转第877页)
上1＃中间包 RTD 曲线位置较2＃中间包 RTD 曲 线位置稍低如图9所示；水模型实验仅测得了从 θ＝0至 θ＝2∙5时间段内的数据得到的中间包各 流 RTD 曲线下对应的积分面积之和并不是精确等 于1从而造成截断误差．因此从质量守恒的角度 来讲1＃中间包 RTD 曲线的截断误差大于2＃中间 包 RTD 曲线的截断误差导致了数学模型与水模型 计算结果间的差异．由于数学模拟能够更好地满足 质量守恒条件因此数值模拟的计算结果精度要高 于水模型实验． 表3 采用本文模型后1＃和2＃中间包计算结果 Table3 Calculation results for Tundishes No．1and No．2by the proposed model 体积分数 1＃中间包 2＃中间包 数值模拟 计算结果 水模型 计算结果 数值模拟 计算结果 水模型 计算结果 V by／V 0 0 0 0 V d／V 10∙9 16 9∙9 10 V ba／V 52∙6 54 45∙1 46 V p／V 36∙5 30 45∙0 44 鉴于此在利用水模型实验或数值模拟获得中 间包 RTD 曲线的过程中为保证计算精度必须尽 可能充分地考虑质量守恒条件：当 RTD 曲线非常接 近θ轴时才能考虑结束水模型实验或数值模拟计 算如图10所示．但这一点往往被众多冶金工作者 忽视值得引起注意． 图10 RTD 曲线示意图 Fig．10 Schematic diagram of the RTD curve 4 结论 （1） Sahai 关于单流中间包流动特征的数学模 型不适合多流中间包既没有考虑到短路流的情况 也不能计算其体积分数． （2） Sahai 提出的模型在计算活塞流区域的体 积分数过程中没有全面反映出活塞流的特性． （3） 直接引用 Sahai 针对单流中间包流动特征 的数学模型计算多流中间包的情况不合理计算得 到 的 各 流 对 应 的 死 区 体 积 分 数 之 和 可 能 超 过 100％甚至是负值．利用针对单流中间包的数学模 型指导多流中间包优化设计不可靠． （4） 本文提出的多流中间包流动特征数学模型 中明确提出了绘制停留时间分布（RTD）曲线的规 范能够区分实际流动方式与理想活塞流流动方式 的偏差；体现了死区的特性提出了新的计算死区体 积分数的方法．本文模型还考虑到了短路流的存 在并提出了计算短路流体积分数的方法． 符 号 表 ci（ ti）———多流中间包第 i 流在 tj 时刻示踪剂出口平面中心 的浓度； Ei（θj）———多流中间包第 i 流在θj 时刻的量纲1浓度； E（θ）———RTD 曲线上纵坐标所表示的量纲1浓度； Emax———RTD 曲线上最大值； n———多流中间包内总的流数； QQi———分别为入口体积流量、多流中间包每一个出口对 应的体积流量m 3·s —1； t———时间s； V ———中间包体积m 3； V byi V V pi V V bai V V di V ———分别为多流中间包内每一流的 短路流区、活塞区、返混区和死区的体积分数％； V by V V p V V ba V V d V ———分别为多流中间包内总的短路流区、 活塞区、返混区和死区的体积分数％； α———修正系数； θ———量纲1时间； θmax———RTD 曲线达到最大值的量纲1时间； θmin———示踪剂最小响应时间； σ2———方差； τ———理论平均停留时间τ＝ V／Q． 参 考 文 献 ［1］ Wei Z YBao Y PLiu J H．Orthogonal analysis of water model study on the optimization of flow control devices in a six-strand tundish．J Univ Sci Technol Beijing200714（2）：118 ［2］ Cheng Z JCheng D QCheng S Set al．Numerical simulation of isothermal liquid steel flow field of tundish for slab caster in Jiugang．J Iron Steel Res200820（2）：60 （程子建成东全程树森等．酒钢板坯中间包等温流场的数值 模拟．钢铁研究学报200820（2）：60） ［3］ Morales R DBarreto J de JLópez Ramirez Set al．Melt flow control in a multistrand tundish using a turbulence inhibitor．Metall Meter T rans B200031：1505 （下转第877页） ·820· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第7期 梁红玉等：Si合金快速等轴凝固界面响应函数及组织选择 877. (刘东明，赵九洲，叶恒强.喷射成形中金属液滴凝固过程的计 学，2002,32.577) 算机模拟-金属学报，2003,39(4)：375) [12]Liu C.Su Y Q.Li X Z.et al.Microstructure evolution of Ti- [5]Fu HZ,Li X Z.Liu C.et al.Directional solidification and mi- (4-50)Al alloys during directional peritectie solidification.Acta crostructure selection for Ti2Al peritectic alloy.Chin J Nonfer- Metall Sin.2005,41:260 rous Met,2005,15(4):195 (刘畅，苏彦庆，李新中，等.Ti一(A50)A川合金定向包晶凝固 (傅恒志，李新中，刘畅等.T2A!包晶合金定向凝固及组织选 过程中的组织演化·金属学报，2005,41：260) 择.中国有色金属学报，2005,15(4)：495) [13]Hu H Q.Fundamentals of Metal Solidification.2nd Ed.Bei- [6]Li S M.Ma BL.LiX L.et al.Phase competitive growth during jing:Mechanical Industry Press.2000:263 directional solidification.Sci China Ser E.2005.35:479 (胡汉起·金属凝固原理.2版.北京：机械工业出版社，2000： (李双明，马伯乐，李晓历，等.定向凝固下共晶合金中相的竞争 263) 生长.中国科学E辑，2005,35：479) [14]Grant PS.Cantor B.Katerman L.Modeling of droplet dynamic [7]Suk M J.Choi G H.Moon I H.Formation of halo in Sb-InSb and and thermal histories during spray forming I:Individual droplet Sn-Bi eutectic alloy systems.JCryst Growth.1992.123:5 behavior.Acta Metall Mater,1993.41(11):3109 [8]Suk M J.Leonartz K J.Halo growth during unidirectional solidifi- 115]Xu Q,Lavernia E J.Influence of nucleation and growth phe- cation of camphornaphthalene eutectic system.Cryst Growth, nomena on microstructural evolution during droplet-based deposi- 2000,213:141 tion.Acta Mater,2001,49(18):3849 [9]Umeda T,OkaneT,Kurz W.Phase selection during solidification [16]Magnin P.Trivedi R.Eutectic growth:A modification of the of peritectic alloys.Acta Mater.1996.44:4209 Jackson and Hunt theory.Acta Metall Mater,1991,39(4): [10]Kurz W.Trivedi R.Banded solidification microstructures.Met- 453 all Mater Trans A,1996,27:625 [17]Kurz W,Fisher DJ.Fundamentals of Solidification.3rd Ed. [11]Huang W D.Lin X.Wang M.et al.Morphology and phases Switzerland:Trans Tech Publications Ltd,1989:292 selection for peritectic solidification.Sei China Ser E.2002, [18]Huang JR.Phase Diagrams for Cast Alloys.Beijing:Mechani- 32:577 cal Industry Press.1980:11 (黄卫东，林鑫，王猛，等.包晶凝固的形态与相选择.中国科 (黄积荣.铸造合金相图谱.北京：机械工业出版社，1980：11) (上接第820页) tundishes.Ironmaking Steelmaking.1986.13(5):241 [4]Lopez Ramirez S.Barreto J D J.Palafox-Ramos J.et al.Model- [8]Zhong L C.Li B K.Zhu Y X.et al.Fluid flow in a four strand ing study of the influence of turbulence inhibitors on the molten bloom continuous casting tundish with different flow modifiers. steel flow,tracer dispersion,and inclusion trajectories in tundish- 1SJ1t,2007,47(1):88 es.Metall Mater Trans B.2001.32:615 [9]Zheng S G.Zhu M Y.Optimisation of baffles in six strand round [5]Solorio-Diaz G.Morales R D.Palafox-Ramos J,et al.Modeling bloom continuous casting:a physical modeling study Ironmaking the effects of a swirling flow on temperature stratification of liquid Steelmaking.2006.33(5):398 steel and flotation of inclusions in a tundish.ISIJ Int,2005,45 [10]Wang JJ.Peng S H,Xiao Z Q.Full flow model for analysis on (8):1129 flow pattern in multi-strand tundish.Steelmaking,1998(5): [6]Sahai Y.Toshihiko E M I.Melt flow characterization in continu- 27 ous casting tundishes.ISIJ Int,1996.36(6):667 (王建军，彭世恒，肖泽强·多流中间包流动特征分析的全流 [7]Sahai Y.Ahuja R.Fluid flow and mixing of melt in steelmaking 量模型，炼钢，1998(5)：27)
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