第三章复变积分 第5页 为此,设z是G内一点,z+△z是它的邻点,如图35,则 F(2)=/f()d,F(z+4z)= f(odc 因为积分与路径无关,所以 △FF(z+△2)-F(2) 由此可得 △F f(sds-f(z) z+△z [f()-f(2】d 2+△2 f()-f(x)}·|d 由于f(z)是连续的,故对于任给的ε>0,存在δ>0,使当K-2<6时,|f()-f(2)<ε,所以 f(2)≤ 14z E·|△z|=E, 即得 △F=f(2) △z-0△z 这就证明了F(2)在G内可导,并且F(2)=f(2).口 原函数如果函数(2)的导数(2)=f(2),则更(z)称为f(z)的原函数.上面定义的f(2) 的不定积分就是f(z)的一个原函数.对于给定的一个函数f(z)来说,原函数不是唯一的.任意两 个原函数之间只相差一个常数.这是因为,如果西1(2)与重2(2)都是f(x2)的原函数,则 1(2)=f(2),2(2)=f(2 所以,國1(2)-2(2)]=0, 更1(2)-重2(2)=C 知道了被积函数的原函数,可使复变积分的计算大为简化.设更(2)为f(2)的一个原函数,则 f(2)的不定积分 F(a f(a)dz=(z)+C 但是,显然有 所以 / ∫(2)dz=(z)-(x0)▲▼◆ ❖ P ◗ ❘ ❙ 5 ❚ ✱✼✧✥ z ✘ G ✖✴ ✳✧ z + ∆z ✘✾✢❯✳✧❖✃ 3.5 ✧❆ F(z) = Z z z0 f(ζ) dζ, F(z + ∆z) = Z z+∆z z0 f(ζ) dζ. ◆✱✖✗❁st❄❅✧✏ Ï ∆F ∆z = F(z + ∆z) − F(z) ∆z = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ. ⑦✼❰ ✺     ∆F ∆z − f(z)     =      1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ − f(z)      =      1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) − f(z) dζ      ≤ 1 |∆z| Z z+∆z z  f(ζ) − f(z)   ·   dζ   . ⑦❥ f(z) ✘❙❚✢✧✍✉❥✮ ✈✢ ε > 0 ✧✿ ✩ δ > 0 ✧✹✸ |ζ − z| < δ ✻ ✧ |f(ζ)− f(z)| < ε ✧✏ Ï     ∆F ∆z − f(z)     ≤ 1 |∆z| · ε · |∆z| = ε, ♦✺ F 0 (z) = lim ∆z→0 ∆F ∆z = f(z). ❐❱Û Ü✰ F(z) ✩ G ✖❰ ❑✧❍❀ F 0 (z) = f(z) ✤ ❲❅❆ ❖P★✙ Φ(z) ✢❑✙ Φ 0 (z) = f(z) ✧❆ Φ(z) ❇✱ f(z) ✢❳★✙✤✜✛✫✬✢ f(z) ✢①✫✖✗❱✘ f(z) ✢ ✴●❳★✙✤✉❥✈✫✢✴●★✙ f(z) ❨ ✑✧❳★✙①✘❩ ✴ ✢✤✮✯❏ ● ❳★✙➃➄✒❬❭✴●❜✙✤❐✘◆✱✧❖P Φ1(z) ❁ Φ2(z) ❩ ✘ f(z) ✢❳★✙✧❆ Φ 0 1 (z) = f(z), Φ0 2 (z) = f(z). ✏ Ï ✧ Φ1(z) − Φ2(z) 0 = 0 ✧ Φ1(z) − Φ2(z) = C. ❪➮✰ ❦ ✖★✙✢❳★✙✧❰ ✹✔✕✖✗✢❫❴❵✱Õ✞✤✥ Φ(z) ✱ f(z) ✢ ✴●❳★✙✧❆ f(z) ✢①✫✖✗ F(z) = Z z z0 f(z) dz = Φ(z) + C. ❛✘✧❢❣✪ F(z0) = Φ(z0) + C = 0, C = −Φ(z0). ✏ Ï Z z z0 f(z) dz = Φ(z) − Φ(z0).