32单连通区域的 Cauchy定理 第6页 例32计算积分/zdz,n为整数 解当n为自然数时,z在全平面解析, zn+1是它的一个原函数.因此,对于z平面 上的任意一条积分路线,均有 当n=-2,-3,-4,……时,zn在不包含z=0点在内的任意一个单连通区域内解析,其原函数 仍可取为2n+1.因此,仍有 1n+1 但由于下一节例3的原因,此结果对于不包含z=0点在内的任意区域均成立 当n=-1时,2-1也是在不包含z=0在内的任一区域内解析,但其原函数应为lnz.因此, 在不包含z=0的任一单连通区域内, 需要特别注意,在一个单连通区域内,上面的积分当然与路径无关.但是对于不同的单连通 区域,同样的起点与终点也还会給出不同的积分值·从计算的过程看,这里的原函数是多值函数 因此积分值与由a变化到b的方式有关.当限制在不含z=0的一个单连通区域内时,就是把lnz 限制在某一个单值分枝内,故积分值lnb-lna是唯一确定的.而对于不同的单连通区域,就可能 对应于hz的不同单值分枝,因而积分值也就可能不同§3.2 ýþÿ￾✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 6 ✟ ④ 3.2 ❫❴✖✗ Z b a z ndz ✧ n ✱❜✙✤ ❷ ✸ n ✱ ❝❣✙ ✻ ✧ z n ✩❞ ✚✛➹➘✧ 1 n + 1 z n+1 ✘✾✢ ✴●❳★✙✤◆✼✧✉❥ z ✚✛ ✜✢✮✯✴Ù✖✗s✣✧✌✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ✸ n = −2, −3, −4, · · · ✻ ✧ z n ✩ ①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯✴●➪❙➶➈➉ ✖ ➹➘✧❬❳★✙ ❡ ❰ ❃✱ 1 n + 1 z n+1 ✤◆✼✧❡✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ❛ ⑦❥q✴❢❣ 3 ✢❳◆✧✼❤P✉❥①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯➈➉✌✐✿✤ ✸ n = −1 ✻ ✧ z −1 ❮ ✘ ✩ ①✔✕ z = 0 ✩ ✖ ✢ ✮✴➈➉ ✖ ➹➘✧❛❬❳★✙ à ✱ ln z ✤◆✼✧ ✩ ①✔✕ z = 0 ✢ ✮✴➪❙➶➈➉ ✖ ✧ Z b a dz z = ln b − ln a. ❥✎✱➊❦ ✯ ✧ ✩✴●➪❙➶➈➉ ✖ ✧✜✛✢✖✗✸❣❁st❄❅✤❛✘ ❧➥✪ ♠➠➙➭➯ ➒➓✧♠♥➠♦➡♣q➡✦rst ✉✪ ♠➠✤✥✵ ✤✬❫❴✢✈ ☛✇✧❐❒✢❳★✙✘①❈★✙✧ ◆✼✖✗❈❁ ⑦ a ✕✞❀ b ✢ ✡ã ✪❅✤✸✾② ✩ ①✕ z = 0 ✢ ✴●➪❙➶➈➉ ✖✻ ✧❱✘✭ ln z ✾② ✩③✴●➪❈✗④ ✖ ✧✍✖✗❈ ln b − ln a ✘❩ ✴⑤ ✫✢✤✆✉❥①②✢➪ ❙➶➈➉✧❱ ❰ ✓ ✉ à ❥ ln z ✢①②➪ ❈✗④✧◆✆✖✗❈❮ ❱ ❰ ✓①②✤