第4期 张楠，等：效用三支决策模型 ·463· 若B。≠0，则有 (u(Ass)-u(As))+(u(ABp)-u(Axp)) 一←→ 1 u(入xw）-u(入n） B.=1+△(B.) .u(入即）-u(入NP) 1+ u(入N）-u(入PN） u(ANN)-u(ABN) (u(A)-u(入pN))+(u(App)-u(入p) 7 A(a.)度量了在状态[x]二X下由边界域移 u(ANx)-u(Aps) 动到正域效用增加值与在状态[x]≤X下由边界 (u(Ass)-u(Ams))+(u(Amr)-u(Asp))> 域移动到正域效用减少值的比例：△(B.)度量了在 u(入)-u(入) 状态[x]二X下由边界域移动到负域效用减少值， (u(Ass)-u())+(u(m)-u(sp)) 与在状态[x]CX下由边界域移动到负域效用增 a>y。>B. 加值的比例；△(y)度量了在状态[x]≤X下由正 也就是说，当满足条件 域移动到负域效用减少值与在状态[x]二X下由 u(入pp)-u(入即）u(入即）-u(入Np) 正域移动到负域效用增加值的比例。4（α）、 u(ABs)-u(Apx)u(ANx)-u(ABs) A(B.)和A(y.)分别涉及两种状态下正域与边界 得到0≤B。<Y.<a。≤1。上式条件也可表 域、边界域与负域和正域与负域间的转换。不同决 示为A(a)<△(B.),表示两种状态变量下正域与 策者对待风险的态度不同将导致获得的效用函数不 边界域间转换引起的效用值变化比例低于边界域与 同，从而在相同客观因素下得到的参数差异较大，影 负域间转换引起的效用值变化比例。 响最终的决策判定结果。 当存在两种决策方案的期望效用同时达到最 根据边界域规则(B,),设a。>B。,即 大，此时决策者将从两种方案中选其一。通过使用 u(入BN)-u(入pw） 决胜规则，当P(X1[x])=α，时，划分到正域和边界 (u(ABs)-u(Ars))+(u(App)-u(Agp)) 域的期望效用同时达到最大，此时判定[x]二 u(入w）-u(入BN) POS(X);当P(XI[x])=B.时，划分到边界域和 (u(Ass)-u(s))+(u()-u(sp)) 负域的期望效用同时达到最大，此时判定[x]二 (u(ABN)-u(入pN)）+(u(入p)-u(入Bp)) NEG.(X)。规则P,)~N,)可进一步化简为 u(入BN)-u(入pw) P2)若P(XI[x])≥a.,则[x]CPOS(X) (u(入NN)-u(入BN)+(u(ABp)-u(入p)) B2)若B.<P(XI[x])<&.,则[x]CBND(X) ←→ u(入w)-u(入BN) N2)若P(XI[x])≤B.,则[x]SNEG.(X) u(入pp)-u(入Bp） u(入即）-u(入p） 在效用三支决策模型中，关于集合X二U的(a., u(A)-a(n)<1+ 1+ u(入N)-u(入BN) B.)-上、下近似可表示为 u(入pp)-u(入r)u(入p)-u(Ap) apr((X)=POS.(X)U BND.(X)= u(入)-u(入pw)u(入)-u(ABN) {x∈UIP(XI[x])>B.} 采用不等式公式仁<c+d<得 a<a+6<6 apra.A)（X)=P0S(X)= {x∈UIP(XI[x])≥a.} u(入pp)-u(入即），u(入p)-u(入p) 将单个对象划分到正域、边界域、负域分别会产 u(入BN)-u(入w)u(入N)-u(入pw) 生不同的效用。设p=P(X1[x]),对于任意属性 u(A即）-u(入NP 集A二C,单个对象划分到X正域、边界域、负域的 ←→ u(入w)-u(AgN) 效用分别表示如下： 1+u(Ap）-u(d即)，， u(Am）-u(入p） 1)单个对象划分到X正域的效用为 u(As)-u(Aps) <1+ u(入w）-u(入pw）) Utilitys=p·u(入pp）+(1-p)·u(Apx） u(入即）-u(入p) 2)单个对象划分到X边界域的效用为 u(ss)-u(n) 1+ UtilityND=p·u(Ap)+(1-p）·u(AgN) (u(入N)-u(入N)）+（u(入m)-u(入即) 3)单个对象划分到X负域的效用为 u(AgN)-u(入pw) Utility=p·u(Ap)+(1-p）·u(Aw) (u(入Nw)-u(入pw))+(u(入p)-u(入p)) 亦即，若将对象x划分到正域，得到的效用等于 u(入w)-u(入w) 其在状态[x]二X和[x]CX下划分到正域的效若 βｕ ≠ ０，则有 βｕ ＝ １ １ ＋ Δ（βｕ ） ＝ １ １ ＋ ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） Δ（αｕ ） 度量了在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ 下由边界域移 动到正域效用增加值与在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ ｃ 下由边界 域移动到正域效用减少值的比例； Δ（βｕ ） 度量了在 状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ 下由边界域移动到负域效用减少值， 与在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ ｃ 下由边界域移动到负域效用增 加值的比例； Δ（γｕ ） 度量了在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ 下由正 域移动到负域效用减少值与在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ ｃ 下由 正域 移 动 到 负 域 效 用 增 加 值 的 比 例。 Δ（αｕ ） 、 Δ（βｕ ） 和 Δ（γｕ ） 分别涉及两种状态下正域与边界 域、边界域与负域和正域与负域间的转换。 不同决 策者对待风险的态度不同将导致获得的效用函数不 同，从而在相同客观因素下得到的参数差异较大，影 响最终的决策判定结果。 根据边界域规则（Ｂ１ ），设 αｕ ＞ βｕ ，即 ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） ＞ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ⇔ （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） ⇔ １ ＋ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ １ ＋ ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） ⇔ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） 采用不等式公式 ｃ ａ ＜ ｃ ＋ ｄ ａ ＋ ｂ ＜ ｄ ｂ 得 ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） ⇔ １ ＋ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ １ ＋ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ １ ＋ ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） ⇔ （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） ⇔ ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） ＞ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ＞ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） ⇔ αｕ ＞ γｕ ＞ βｕ 也就是说，当满足条件 ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） ＜ ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） 得到 ０ ≤ βｕ ＜ γｕ ＜ αｕ ≤ １。 上式条件也可表 示为 Δ（αｕ ） ＜ Δ（βｕ ） ，表示两种状态变量下正域与 边界域间转换引起的效用值变化比例低于边界域与 负域间转换引起的效用值变化比例。 当存在两种决策方案的期望效用同时达到最 大，此时决策者将从两种方案中选其一。 通过使用 决胜规则，当 Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＝ αｕ 时，划分到正域和边界 域的期 望 效 用 同 时 达 到 最 大， 此 时 判 定 ［ｘ］ ⊆ ＰＯＳπ（Ｘ） ；当 Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＝ βｕ 时，划分到边界域和 负域的期望效用同时达到最大，此时判定 ［ｘ］ ⊆ ＮＥＧπ（Ｘ） 。 规则 Ｐ１ ） ～Ｎ１ ）可进一步化简为 Ｐ２） 若 Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥ αｕ，则［ｘ］ ⊆ ＰＯＳπ（Ｘ） Ｂ２） 若 βｕ ＜ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＜ αｕ，则［ｘ］ ⊆ ＢＮＤπ（Ｘ） Ｎ２） 若 Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≤ βｕ，则［ｘ］ ⊆ ＮＥＧπ（Ｘ） 在效用三支决策模型中，关于集合 Ｘ ⊆ Ｕ 的 （αｕ ， βｕ ） ⁃上、下近似可表示为 ａｐｒ（αｕ ，βｕ ）（Ｘ） ＝ ＰＯＳπ（Ｘ） ∪ ＢＮＤπ（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＞ βｕ ｝ ａｐｒ（αｕ ，βｕ ）（Ｘ） ＝ ＰＯＳπ（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥ αｕ ｝ 将单个对象划分到正域、边界域、负域分别会产 生不同的效用。 设 ｐ ＝ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ，对于任意属性 集 Ａ ⊆ Ｃ ，单个对象划分到 Ｘ 正域、边界域、负域的 效用分别表示如下： １） 单个对象划分到 Ｘ 正域的效用为 Ｕｔｉｌｉｔｙ ＰＯＳ Ａ ＝ ｐ·ｕ（λＰＰ ） ＋ （１ － ｐ）·ｕ（λＰＮ） ２） 单个对象划分到 Ｘ 边界域的效用为 Ｕｔｉｌｉｔｙ ＢＮＤ Ａ ＝ ｐ·ｕ（λＢＰ ） ＋ （１ － ｐ）·ｕ（λＢＮ） ３） 单个对象划分到 Ｘ 负域的效用为 Ｕｔｉｌｉｔｙ ＮＥＧ Ａ ＝ ｐ·ｕ（λＮＰ ） ＋ （１ － ｐ）·ｕ（λＮＮ） 亦即，若将对象 ｘ 划分到正域，得到的效用等于 其在状态 ［ｘ］ ⊆ Ｘ 和 ［ｘ］ ⊆ Ｘ ｃ 下划分到正域的效 第 ４ 期 张楠，等：效用三支决策模型 ·４６３·