·462· 智能系统学报 第11卷 在对象属于X的状态下采取决策方案ap、aB和av 对于规则N)的第1个条件，将期望效用公式代 时的效用值。其中u(入p)≥u(入p)>u(入p),表 入，可转化为 示在[x]CX状态下，将[x]判定为X正域的效用 (awI[x])≥(apI[x])台 要大于将其判定为X边界域的效用，进一步大于将 u(Ap)·P(XI[x])+u(Aw)·P(XCI[x])≥ 其判定为X负域的效用。u(入w)≥u(入w)> u(入p)·P(XI[x])+u(入w)·P(XeI[x])台 u(入w),表示在[x]CXe状态下，将[x]判定为X u(入p)·P(XI[x])+u(入w)·(1-P(XI[x]))≥ 负域的效用要大于将其判定为X边界域的效用，进 u(Ap)·P(XI[x])+u(Aw)·(1-P(XI[x])台 一步大于将其判定为X正域的效用。 u(入w)-u(入pw) 对于x∈U,[x]∈π采用3种决策方案ap、 P(XI[])≤u(As)-u(AN)+(uAT)-u(Ae） ag和aw的期望效用分别为 规则P)、B)和N)的第2个条件分别为上面推导 apI[x])=u(入p)P(XI[x])+u(入w)P(XI[x]) 的规则N)、P)和B)第1个条件的相反表示。规则 aBI[x])=u(入e)P(XI[x])+u(入w)P(X"I[x]) P)、B)和N)的第2个条件可分别转化为 (ax I [x])=u(Axp)P(XI [x])+u(As)P(X I [x]) (apI[x])≥亚(awI[x])P(XI[x])≥ 依据最大期望效用Bayesian决策准则，选择期 u(入w)-u(入pw) 望效用最大的决策方案作为最佳决策方案。效用三 (u(入w）-u(入w)+(u(Ap)-u(Ap) 支决策模型的决策规则如下： (agI[x])≥(apI[x])台P(XI[x])≤ P)若(apI[x])≥(aBI[x])并且(ap u(入Bw）-u(入pN) I[x])≥亚(awI[x]),则判定[x]≤POS.(X); (u(入N)-u(入w)+(u(App)-u(ABp)) B)若(aBI[x])≥(awI[x])并且平(aB (awI[x])≥(agI[x])台P(XI[x])≤ I[x])≥(apl[x]),则判定[x]CBND.(X); u(入w)-u(入BN) N)若亚(awI[x])≥(apI[x])并且(aw (u(入w）-u(入N))+(u(入p)-u(入P)) 1[x])≥(aBI[x]),则判定[x]SNEG.(X)。 因此，依据效用3支决策模型的决策准则，规则 刘盾在文献[24]中对三支决策粗糙集中的阈 P)~N)可简化为 值关系进行了相关研究。本文中，对于含有两种状 P)若P(XI[x])≥a.并且P(XI[x])≥Y., 态的决策系统，记P(XI[x])=P,则P(XI[x])= 则判定[x]CPOS.(X) 1-P。规则P)~N)可重写，具体推导过程如下： B,)若P(XI[x])≥B.并且P(XI[x])≤a., 对于规则P)的第1个条件，将期望效用公式代 则判定[x]CBND.(X) 入，可转化为 N,)若P(XI[x])≤y.并且P(XI[x])≤ Ψ(apI[x])≥Ψ(agI[x])台 B.,则判定[x]CNEG,(X) 其中a。、B.和 y。分别为 u(入p)·P(XI[x])+u(入w)·(XeI[x])≥ u(入N）-u(入w） u(A即)·P(XI[x])+u(AB)·P(XCI[x])台 u(入m)·P(XI[x])+u(AN)·(1-P(XI[x]))≥ a.=(u(A)-u(pw)+(u(入P)-u(入n)） u(Aw)-u(入N) u(入w)·P(XI[x])+u(AN)·(1-P(XI[x])台 u(入m）-u(入w） B.=(u(ss)-u())+(u(m)-u(s)) PXI[x])≥(uA)-u()+(uAm)-Ae】 u(Aw)-u(入pN) 同理，对于规则B)的第1个条件，将期望效用 Y.=(u(ass)=u(ps))+(u(m)-u(asr)) 由u(App)≥u(入p)>u(Ap)和u(A)≥ 公式代入，可转化为 u(入w)>u(入w）,则&.∈(0,1]，B.∈[0,1)， (agI[x])≥(awI[x])台 Y.∈(0,1)。进一步通过变换可得： u(A即)·P(XI[x])+u(AN）·P(XCI[x])≥ 1 1 u(Ap)·P(XI[x])+u(A)·P(XeI[x])台 a.=1+△(a.） ,u(入p）-u(入即) 1+ u(A即)·P(XI[x])+u(AN)·(1-P(XI[x])≥ u(入BN)-u(入Pw) u(入p)·P(XI[x])+u(入w)·(1-P(XI[x]))台 1 u(入)-u(入) Y.=1+△(y.) ，u(入p）-u(入p） PXI[x])≥(uA)-(As)+(uA）-uA刀 1+ u(Ax)-u(入w)在对象属于 Ｘ Ｃ 的状态下采取决策方案 ａＰ 、 ａＢ 和 ａＮ 时的效用值。 其中 ｕ（λＰＰ ） ≥ ｕ（λＢＰ ） ＞ ｕ（λＮＰ ） ，表 示在 ［ｘ］ ⊆ Ｘ 状态下，将 ［ｘ］ 判定为 Ｘ 正域的效用 要大于将其判定为 Ｘ 边界域的效用，进一步大于将 其判定为 Ｘ 负 域 的 效 用。 ｕ（λＮＮ） ≥ ｕ（λＢＮ） ＞ ｕ（λＰＮ） ，表示在 ［ｘ］ ⊆ Ｘ Ｃ 状态下，将 ［ｘ］ 判定为 Ｘ 负域的效用要大于将其判定为 Ｘ 边界域的效用，进 一步大于将其判定为 Ｘ 正域的效用。 对于 ｘ ∈ Ｕ ， ［ｘ］ ∈ π 采用 ３ 种决策方案 ａＰ 、 ａＢ 和 ａＮ 的期望效用分别为 Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） ＝ ｕ（λＰＰ）Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＰＮ）Ｐ（Ｘ ｃ ｜ ［ｘ］） Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） ＝ ｕ（λＢＰ）Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＢＮ）Ｐ（Ｘ ｃ ｜ ［ｘ］） Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） ＝ ｕ（λＮＰ）Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＮＮ）Ｐ（Ｘ ｃ ｜ ［ｘ］） 依据最大期望效用 Ｂａｙｅｓｉａｎ 决策准则，选择期 望效用最大的决策方案作为最佳决策方案。 效用三 支决策模型的决策规则如下： Ｐ） 若 Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） 并且 Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） ，则判定 ［ｘ］ ⊆ ＰＯＳπ（Ｘ） ； Ｂ） 若 Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） 并且 Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） ，则判定 ［ｘ］ ⊆ ＢＮＤπ（Ｘ） ； Ｎ） 若 Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） 并且 Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） ，则判定 ［ｘ］ ⊆ ＮＥＧπ（Ｘ） 。 刘盾在文献［２４］ 中对三支决策粗糙集中的阈 值关系进行了相关研究。 本文中，对于含有两种状 态的决策系统，记 Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＝ Ｐ ，则 Ｐ（Ｘ ｃ ｜ ［ｘ］） ＝ １ － Ｐ 。 规则 Ｐ） ～Ｎ）可重写，具体推导过程如下： 对于规则 Ｐ）的第 １ 个条件，将期望效用公式代 入，可转化为 Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］）⇔ ｕ（λＰＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＰＮ）·（Ｘ Ｃ ｜ ［ｘ］） ≥ ｕ（λＢＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＢＮ）·Ｐ（Ｘ Ｃ ｜ ［ｘ］）⇔ ｕ（λＰＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＰＮ）·（１ － Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］）） ≥ ｕ（λＢＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＢＮ）·（１ － Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］））⇔ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥ ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） 同理，对于规则 Ｂ）的第 １ 个条件，将期望效用 公式代入，可转化为 Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］）⇔ ｕ（λＢＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＢＮ）·Ｐ（Ｘ Ｃ ｜ ［ｘ］） ≥ ｕ（λＮＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＮＮ）·Ｐ（Ｘ Ｃ ｜ ［ｘ］）⇔ ｕ（λＢＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＢＮ）·（１ － Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］）） ≥ ｕ（λＮＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＮＮ）·（１ － Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］））⇔ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） 对于规则 Ｎ）的第 １ 个条件，将期望效用公式代 入，可转化为 Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］）⇔ ｕ（λＮＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＮＮ）·Ｐ（Ｘ Ｃ ｜ ［ｘ］） ≥ ｕ（λＰＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＰＮ）·Ｐ（Ｘ Ｃ ｜ ［ｘ］）⇔ ｕ（λＮＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＮＮ）·（１ － Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］）） ≥ ｕ（λＰＰ ）·Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＋ ｕ（λＰＮ）·（１ － Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］））⇔ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≤ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） 规则 Ｐ）、Ｂ）和 Ｎ）的第 ２ 个条件分别为上面推导 的规则 Ｎ）、Ｐ）和 Ｂ）第 １ 个条件的相反表示。 规则 Ｐ）、Ｂ）和 Ｎ）的第 ２ 个条件可分别转化为 Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］）⇔Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＰ ｜ ［ｘ］）⇔Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≤ ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） Ψ（ａＮ ｜ ［ｘ］） ≥ Ψ（ａＢ ｜ ［ｘ］）⇔Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≤ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） 因此，依据效用 ３ 支决策模型的决策准则，规则 Ｐ） ～Ｎ）可简化为 Ｐ１ ） 若Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥αｕ 并且Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥γｕ ， 则判定［ｘ］ ⊆ ＰＯＳπ（Ｘ） Ｂ１ ） 若Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥βｕ 并且Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≤αｕ ， 则判定［ｘ］ ⊆ ＢＮＤπ（Ｘ） Ｎ１ ） 若 Ｐ（ Ｘ ｜ ［ ｘ］ ） ≤ γｕ 并且 Ｐ（ Ｘ ｜ ［ ｘ］ ） ≤ βｕ ，则判定［ ｘ］ ⊆ ＮＥＧπ（ Ｘ） 其中 αｕ 、 βｕ 和 γｕ 分别为 αｕ ＝ ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ）） βｕ ＝ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＢＮ）） ＋ （ｕ（λＢＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） γｕ ＝ ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） （ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ）） ＋ （ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ）） 由 ｕ（λＰＰ ） ≥ ｕ（λＢＰ ） ＞ ｕ（λＮＰ ） 和 ｕ（λＮＮ） ≥ ｕ（λＢＮ） ＞ ｕ（λＰＮ） ，则 αｕ ∈ （０，１］ ， βｕ ∈ ［０，１） ， γｕ ∈ （０，１） 。 进一步通过变换可得： αｕ ＝ １ １ ＋ Δ（αｕ ） ＝ １ １ ＋ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＢＮ） － ｕ（λＰＮ） γｕ ＝ １ １ ＋ Δ（γｕ ） ＝ １ １ ＋ ｕ（λＰＰ ） － ｕ（λＮＰ ） ｕ（λＮＮ） － ｕ（λＰＮ） ·４６２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷