第4期 张楠，等：效用三支决策模型 ·461· 集，基于X的（α，B)-上、下近似，得到正域 与效用的关系，不同决策者将会选择避开风险，冒险 POS()(X),边界域BND(.g)(X)和负域 还是仅参考客观期望值，从而影响最终决策结果。 NEG(8(X),分别表示如下： 实际应用过程中，常采用混合型效用函数，如‘S POS(aB(X)={x∈UIP(XI[x])≥a 型效用函数。前期采用风险喜好型效用曲线，但当 BND(B (X)=xE UIB<P(XI [x])<a 达到一定收益后，则采用保守策略。 NEG(aB(X)={x∈UIP(XI[x])≤B 效用 风险厌恶型 阈值（α：，β）可通过专家经验给定或者根据损失函 S型 数进行计算获得。在三支决策中，正域对应的规则称 为正规则，表示判定决策方案为接受：边界域对应的规 风险中立型 则称为边界规则，表示判定决策方案为延迟：负域对应 风险喜好型 的规则称为负规则，表示判定决策方案为拒绝。 2效用三支决策模型 max 收益值 图1效用函数曲线 2.1效用理论 Fig.1 The utility function curves 人们往往根据事件的期望值进行决策，但某 2.2基于效用理论的三支决策模型 些时候并不能真实反映现实决策问题。如对于 包含两种状态变量的两种决策方案「，= 在三支决策粗糙集模型基础上，引入效用函数。 即不同的决策动作会产生不同的效用。最大期望效 {0.5/50,0.5/(-6)}和T2={1/20,0/0},其 中0.5/50表示在状态1下收益为50且状态1发 用Bayesian决策过程与传统Bayesian风险决策过程 最主要的区别是以效用函数代替损失函数，在决策 生的概率为0.5,0.5/(-6)表示在状态2下收 过程中充分结合决策者自身关于风险的态度。效用 益为-6且状态2发生的概率为0.5，方案T,类 函数以实际损失值（或收益值）为自变量，其值域区 似说明。可以得到，方案T,的期望为22，方案 T,的期望为20。显然方案T,的期望收益大于 间可归约为[0,1]。当损失值为0时（或收益最 方案T2,依据期望收益最大准则，方案T将被采 大)，此时效用最大，值为1；当损失达到最大值（或 取。但实际中人们却倾向采取方案T,这是因为 收益最低)，此时效用最小，值为0，效用值将随着损 方案「，收益较大并且不承担任何风险。 失值增大而单调下降。 风险型决策的结果通常会受到主客观两方面因 对于二值分类问题，三支决策粗糙集模型包含 素影响，不仅要遵从客观存在的信息，而且要发挥决 状态集D=U/D={X,X}(D为决策属性集)，分别 策者的主观能动性。效用便是决策者主观意识的具 表示对象属于决策类X和不属于决策类X:3种关 体体现。效用值3是一抽象概念，表示所获得的满 于X的决策方案为入={ap,aB,aw},分别表示判定 足程度，可用以度量决策者对决策方案附属的收益 对象属于正域POS.(X)、边界域BND.(X)和负域 或者损失的直接反应与感觉，是决策者自身价值观 NEG.(X)。不同状态变量下采取不同决策方案的 在决策过程中的综合体现，反映了决策者对待风险 效用如表1所示。 的态度。 表1效用函数 效用函数需满足相应公理体系，根据决策者关 Table 1 Utility function 于风险的态度，效用函数可分为风险中立型、风险喜 函数 ap 好型和风险厌恶型，如图1所示。从收益观点看，风 u(Ap） u(入p) u(入P) 险中立型效用曲线收益期望的最大效用与最大期望 u(入w） u(入aN) u(ANN) 效用一致，对决策者而言无论是否有风险，都将选择 其中，入(i=P,B,N,j=P,N)表示对象属于X、 期望收益最大的方案。风险厌恶型效用曲线，任一 X状态下采取不同决策方案ap、ag和aw的损失 收益的效用都大于期望效用，表明决策者偏于保守， 值，u(入)(i=P,B,N,J=P,N)表示损失值入g对 不愿意冒风险。风险喜好型效用曲线，任一收益的 应的效用值。u(入p)、u(A即)和u(ANp)分别表示 效用都低于期望效用，为了达到最大期望效用，决策 在对象属于X的状态下采取决策方案ap、as和ay 过程中决策者将选择风险较大的方案。根据收益值 时的效用值。u(入w)、u(入)和u(入w)分别表示集， 基 于 Ｘ 的 （α，β） ⁃上、 下 近 似， 得 到 正 域 ＰＯＳ（α，β）（Ｘ） ， 边 界 域 ＢＮＤ（α，β）（Ｘ） 和 负 域 ＮＥＧ（α，β）（Ｘ） ，分别表示如下： ＰＯＳ（α，β）（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≥ α｝ ＢＮＤ（α，β）（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ β ＜ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ＜ α｝ ＮＥＧ（α，β）（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ Ｐ（Ｘ ｜ ［ｘ］） ≤ β｝ 阈值 （α，β） 可通过专家经验给定或者根据损失函 数进行计算获得。 在三支决策中，正域对应的规则称 为正规则，表示判定决策方案为接受；边界域对应的规 则称为边界规则，表示判定决策方案为延迟；负域对应 的规则称为负规则，表示判定决策方案为拒绝。 ２ 效用三支决策模型 ２．１ 效用理论 人们往往根据事件的期望值进行决策，但某 些时候并不能真实反映现实决策问题。 如对于 包含 两 种 状 态 变 量 的 两 种 决 策 方 案 Γ１ ＝ ｛ ０．５ ／ ５０，０．５ ／ （ － ６） ｝ 和 Γ２ ＝ ｛ １ ／ ２０，０ ／ ０｝ ，其 中 ０．５ ／ ５０ 表示在状态 １ 下收益为 ５０ 且状态 １ 发 生的概率为 ０．５， ０．５ ／ （ － ６） 表示在状态 ２ 下收 益为 － ６ 且状态 ２ 发生的概率为 ０．５ ，方案 Γ２ 类 似说明。 可以得到，方案 Γ１ 的期望为 ２２，方案 Γ２ 的期望为 ２０。 显然方案 Γ１ 的期望收益大于 方案 Γ２ ，依据期望收益最大准则，方案 Γ１ 将被采 取。 但实际中人们却倾向采取方案 Γ２ ，这是因为 方案 Γ２ 收益较大并且不承担任何风险。 风险型决策的结果通常会受到主客观两方面因 素影响，不仅要遵从客观存在的信息，而且要发挥决 策者的主观能动性。 效用便是决策者主观意识的具 体体现。 效用值［３１］是一抽象概念，表示所获得的满 足程度，可用以度量决策者对决策方案附属的收益 或者损失的直接反应与感觉，是决策者自身价值观 在决策过程中的综合体现，反映了决策者对待风险 的态度。 效用函数需满足相应公理体系，根据决策者关 于风险的态度，效用函数可分为风险中立型、风险喜 好型和风险厌恶型，如图 １ 所示。 从收益观点看，风 险中立型效用曲线收益期望的最大效用与最大期望 效用一致，对决策者而言无论是否有风险，都将选择 期望收益最大的方案。 风险厌恶型效用曲线，任一 收益的效用都大于期望效用，表明决策者偏于保守， 不愿意冒风险。 风险喜好型效用曲线，任一收益的 效用都低于期望效用，为了达到最大期望效用，决策 过程中决策者将选择风险较大的方案。 根据收益值 与效用的关系，不同决策者将会选择避开风险，冒险 还是仅参考客观期望值，从而影响最终决策结果。 实际应用过程中，常采用混合型效用函数，如 ‘Ｓ’ 型效用函数。 前期采用风险喜好型效用曲线，但当 达到一定收益后，则采用保守策略。 图 １ 效用函数曲线 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅｓ ２．２ 基于效用理论的三支决策模型 在三支决策粗糙集模型基础上，引入效用函数， 即不同的决策动作会产生不同的效用。 最大期望效 用 Ｂａｙｅｓｉａｎ 决策过程与传统 Ｂａｙｅｓｉａｎ 风险决策过程 最主要的区别是以效用函数代替损失函数，在决策 过程中充分结合决策者自身关于风险的态度。 效用 函数以实际损失值（或收益值）为自变量，其值域区 间可归约为［ ０，１］。 当损失值为 ０ 时（ 或收益最 大），此时效用最大，值为 １；当损失达到最大值（或 收益最低），此时效用最小，值为 ０，效用值将随着损 失值增大而单调下降。 对于二值分类问题，三支决策粗糙集模型包含 状态集 Ω ＝ Ｕ／ Ｄ ＝ ｛Ｘ，Ｘ ｃ ｝ （ Ｄ 为决策属性集），分别 表示对象属于决策类 Ｘ 和不属于决策类 Ｘ ；３ 种关 于 Ｘ 的决策方案为 λ ＝ ｛ａＰ ，ａＢ ，ａＮ｝ ，分别表示判定 对象属于正域 ＰＯＳπ（Ｘ） 、边界域 ＢＮＤπ（Ｘ） 和负域 ＮＥＧπ（Ｘ） 。 不同状态变量下采取不同决策方案的 效用如表 １ 所示。 表 １ 效用函数 Ｔａｂｌｅ １ Ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 函数 ａＰ ａＢ ａＮ Ｘ ｕ（λＰＰ ） ｕ（λＢＰ ） ｕ（λＮＰ ） Ｘ ｃ ｕ（λＰＮ ） ｕ（λＢＮ ） ｕ（λＮＮ ） 其中， λｉｊ（ｉ ＝ Ｐ，Ｂ，Ｎ，ｊ ＝ Ｐ，Ｎ） 表示对象属于 Ｘ、 Ｘ ｃ 状态下采取不同决策方案 ａＰ 、 ａＢ 和 ａＮ 的损失 值， ｕ（λｉｊ） （ｉ ＝ Ｐ，Ｂ，Ｎ，ｊ ＝ Ｐ，Ｎ） 表示损失值 λｉｊ 对 应的效用值。 ｕ（λＰＰ ） 、 ｕ（λＢＰ ） 和 ｕ（λＮＰ ） 分别表示 在对象属于 Ｘ 的状态下采取决策方案 ａＰ 、 ａＢ 和 ａＮ 时的效用值。 ｕ（λＰＮ） 、 ｕ（λＢＮ） 和 ｕ（λＮＮ） 分别表示 第 ４ 期 张楠，等：效用三支决策模型 ·４６１·